Решете (2y+3)^2+y^2=4

$$( 2 y + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$$

Решаване за y

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}\approx -0,536675042$$

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}\approx -1,863324958$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2y+3\right)^{2}.

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

Групирайте 4y^{2} и y^{2}, за да получите 5y^{2}.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Извадете 4 и от двете страни.

$$5y^{2}+12y+9-4=0$$

Извадете 4 от 9, за да получите 5.

$$5y^{2}+12y+5=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 5 вместо a, 12 вместо b и 5 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Повдигане на квадрат на 12.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Умножете -4 по 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-20\times 5}}{2\times 5}$$

Умножете -20 по 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-100}}{2\times 5}$$

Съберете 144 с -100.

$$y=\frac{-12±\sqrt{44}}{2\times 5}$$

Получете корен квадратен от 44.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Умножете 2 по 5.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}$$

Сега решете уравнението y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}, когато ± е плюс. Съберете -12 с 2\sqrt{11}.

$$y=\frac{2\sqrt{11}-12}{10}$$

Разделете -12+2\sqrt{11} на 10.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}$$

Сега решете уравнението y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}, когато ± е минус. Извадете 2\sqrt{11} от -12.

$$y=\frac{-2\sqrt{11}-12}{10}$$

Разделете -12-2\sqrt{11} на 10.

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

Уравнението сега е решено.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2y+3\right)^{2}.

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

Групирайте 4y^{2} и y^{2}, за да получите 5y^{2}.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Извадете 9 и от двете страни.

$$5y^{2}+12y=4-9$$

Извадете 9 от 4, за да получите -5.

$$5y^{2}+12y=-5$$

Разделете двете страни на 5.

$$\frac{5y^{2}+12y}{5}=-\frac{5}{5}$$

Делението на 5 отменя умножението по 5.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-\frac{5}{5}$$

Разделете -5 на 5.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-1$$

Разделете \frac{12}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{6}{5}. След това съберете квадрата на \frac{6}{5} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{6}{5}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=-1+\frac{36}{25}$$

Съберете -1 с \frac{36}{25}.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=\frac{11}{25}$$

Разложете на множител y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{11}{25}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{25}}$$

Опростявайте.

$$y+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{11}}{5} y+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{11}}{5}$$

Извадете \frac{6}{5} и от двете страни на уравнението.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$