Решете (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Решаване за x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}+10x+25, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Групирайте 4x^{2} и -x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Групирайте -12x и -10x, за да получите -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Извадете 25 от 9, за да получите -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Добавете 23 от двете страни.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Съберете -16 и 23, за да се получи 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 3x^{2}+ax+bx+7. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 21 на продукта.

$$-1,-21 -3,-7$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Решението е двойката, която дава сума -22.

$$a=-21 b=-1$$

Напишете 3x^{2}-22x+7 като \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Фактор, 3x в първата и -1 във втората група.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Разложете на множители общия член x-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-7=0 и 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}+10x+25, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Групирайте 4x^{2} и -x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Групирайте -12x и -10x, за да получите -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Извадете 25 от 9, за да получите -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Добавете 23 от двете страни.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Съберете -16 и 23, за да се получи 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 3 вместо a, -22 вместо b и 7 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Повдигане на квадрат на -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Умножете -4 по 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Умножете -12 по 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Съберете 484 с -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Получете корен квадратен от 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Противоположното на -22 е 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{22±20}{6}, когато ± е плюс. Съберете 22 с 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Разделете 42 на 6.

$$x=7$$

Сега решете уравнението x=\frac{22±20}{6}, когато ± е минус. Извадете 20 от 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{2}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}+10x+25, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Групирайте 4x^{2} и -x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Групирайте -12x и -10x, за да получите -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Извадете 25 от 9, за да получите -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Добавете 16 от двете страни.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Съберете -23 и 16, за да се получи -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Разделете двете страни на 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Делението на 3 отменя умножението по 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Разделете -\frac{22}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{11}{3}. След това съберете квадрата на -\frac{11}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{11}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Съберете -\frac{7}{3} и \frac{121}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Съберете \frac{11}{3} към двете страни на уравнението.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$