Решете (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Решаване за x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

За да намерите противоположната стойност на 9x^{2}-12x+4, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Групирайте -9x^{2} и -40x^{2}, за да получите -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Добавете 205 от двете страни.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Съберете -4 и 205, за да се получи 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -5x по 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -35x+15x^{2} по 7+3x и да групирате подобните членове.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Групирайте 16x и -245x, за да получите -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Групирайте 4x^{2} и -49x^{2}, за да получите -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Групирайте -229x и 12x, за да получите -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Съберете 16 и 201, за да се получи 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Преобразувайте уравнението в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 217, а q разделя водещия коефициент 45. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 на x-1, за да получите 45x^{2}-217. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 45 за a, 0 за b и -217 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Решете уравнението 45x^{2}-217=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$