Решете (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Решаване за x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x+3 по x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-4 по x+40 и да групирате подобните членове.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Групирайте 3x^{2} и x^{2}, за да получите 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Групирайте -32x и 36x, за да получите 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Извадете 160 от -48, за да получите -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x-8 по x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Извадете 2x^{3} и от двете страни.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Групирайте 2x^{3} и -2x^{3}, за да получите 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Добавете 32x от двете страни.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Групирайте 4x и 32x, за да получите 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Добавете 8x^{2} от двете страни.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Групирайте 4x^{2} и 8x^{2}, за да получите 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Извадете 128 и от двете страни.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Извадете 128 от -208, за да получите -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Разделете двете страни на 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$x^{2}+3x-28=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx-28. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -28 на продукта.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Решението е двойката, която дава сума 3.

$$a=-4 b=7$$

Напишете x^{2}+3x-28 като \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Фактор, x в първата и 7 във втората група.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Разложете на множители общия член x-4, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-4=0 и x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x+3 по x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-4 по x+40 и да групирате подобните членове.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Групирайте 3x^{2} и x^{2}, за да получите 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Групирайте -32x и 36x, за да получите 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Извадете 160 от -48, за да получите -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x-8 по x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Извадете 2x^{3} и от двете страни.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Групирайте 2x^{3} и -2x^{3}, за да получите 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Добавете 32x от двете страни.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Групирайте 4x и 32x, за да получите 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Добавете 8x^{2} от двете страни.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Групирайте 4x^{2} и 8x^{2}, за да получите 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Извадете 128 и от двете страни.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Извадете 128 от -208, за да получите -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 12 вместо a, 36 вместо b и -336 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Повдигане на квадрат на 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -4 по 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -48 по -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Съберете 1296 с 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Получете корен квадратен от 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Умножете 2 по 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-36±132}{24}, когато ± е плюс. Съберете -36 с 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Разделете 96 на 24.

$$x=4$$

Сега решете уравнението x=\frac{-36±132}{24}, когато ± е минус. Извадете 132 от -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Разделете -168 на 24.

$$x=-7$$

Уравнението сега е решено.

$$x=4 x=-7$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x+3 по x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x-4 по x+40 и да групирате подобните членове.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Групирайте 3x^{2} и x^{2}, за да получите 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Групирайте -32x и 36x, за да получите 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Извадете 160 от -48, за да получите -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x-8 по x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Извадете 2x^{3} и от двете страни.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Групирайте 2x^{3} и -2x^{3}, за да получите 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Добавете 32x от двете страни.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Групирайте 4x и 32x, за да получите 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Добавете 8x^{2} от двете страни.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Групирайте 4x^{2} и 8x^{2}, за да получите 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Добавете 208 от двете страни.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Съберете 128 и 208, за да се получи 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Разделете двете страни на 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Делението на 12 отменя умножението по 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Разделете 36 на 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Разделете 336 на 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Разделете 3 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{3}{2}. След това съберете квадрата на \frac{3}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{3}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Съберете 28 с \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Разложете на множител x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Извадете \frac{3}{2} и от двете страни на уравнението.

$$x=4 x=-7$$