Решете (2x+3)^2-15^2=10^2-(x-1)^2

$$( 2 x + 3 ) ^ { 2 } - 15 ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

Решаване за x

$$x=-9$$

$$x=7$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 15 и получавате 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Извадете 225 от 9, за да получите -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 10 и получавате 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}-2x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Извадете 1 от 100, за да получите 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Извадете 99 и от двете страни.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

Извадете 99 от -216, за да получите -315.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Добавете x^{2} от двете страни.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

Групирайте 4x^{2} и x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Извадете 2x и от двете страни.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

Групирайте 12x и -2x, за да получите 10x.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Разделете двете страни на 5.

$$x^{2}+2x-63=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx-63. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=2 ab=1\left(-63\right)=-63$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -63 на продукта.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Решението е двойката, която дава сума 2.

$$a=-7 b=9$$

Напишете x^{2}+2x-63 като \left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right)$$

Фактор, x в първата и 9 във втората група.

$$x\left(x-7\right)+9\left(x-7\right)$$

Разложете на множители общия член x-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-7\right)\left(x+9\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-7=0 и x+9=0.

$$x=7 x=-9$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 15 и получавате 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Извадете 225 от 9, за да получите -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 10 и получавате 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}-2x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Извадете 1 от 100, за да получите 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Извадете 99 и от двете страни.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

Извадете 99 от -216, за да получите -315.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Добавете x^{2} от двете страни.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

Групирайте 4x^{2} и x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Извадете 2x и от двете страни.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

Групирайте 12x и -2x, за да получите 10x.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 5 вместо a, 10 вместо b и -315 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Повдигане на квадрат на 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Умножете -4 по 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Умножете -20 по -315.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+6300}}{2\times 5}$$

Съберете 100 с 6300.

$$x=\frac{-10±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Получете корен квадратен от 6400.

$$x=\frac{-10±80}{2\times 5}$$

Умножете 2 по 5.

$$x=\frac{-10±80}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-10±80}{10}, когато ± е плюс. Съберете -10 с 80.

$$x=\frac{70}{10}$$

Разделете 70 на 10.

$$x=7$$

Сега решете уравнението x=\frac{-10±80}{10}, когато ± е минус. Извадете 80 от -10.

$$x=-\frac{90}{10}$$

Разделете -90 на 10.

$$x=-9$$

Уравнението сега е решено.

$$x=7 x=-9$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 15 и получавате 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Извадете 225 от 9, за да получите -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 10 и получавате 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}-2x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Извадете 1 от 100, за да получите 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Добавете x^{2} от двете страни.

$$4x^{2}+12x-216+x^{2}=99+2x$$

Групирайте 4x^{2} и x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-216=99+2x$$

Извадете 2x и от двете страни.

$$5x^{2}+12x-216-2x=99$$

Групирайте 12x и -2x, за да получите 10x.

$$5x^{2}+10x-216=99$$

Добавете 216 от двете страни.

$$5x^{2}+10x=99+216$$

Съберете 99 и 216, за да се получи 315.

$$5x^{2}+10x=315$$

Разделете двете страни на 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{315}{5}$$

Делението на 5 отменя умножението по 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{315}{5}$$

Разделете 10 на 5.

$$x^{2}+2x=\frac{315}{5}$$

Разделете 315 на 5.

$$x^{2}+2x=63$$

Разделете 2 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 1. След това съберете квадрата на 1 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+2x+1^{2}=63+1^{2}$$

Повдигане на квадрат на 1.

$$x^{2}+2x+1=63+1$$

Съберете 63 с 1.

$$x^{2}+2x+1=64$$

Разложете на множител x^{2}+2x+1. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=64$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Опростявайте.

$$x+1=8 x+1=-8$$

Извадете 1 и от двете страни на уравнението.

$$x=7 x=-9$$