Решете (2x+1)(x-3)=114

$$( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) = 114$$

Решаване за x

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6,5$$

$$x=9$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x+1 по x-3 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-5x-3=114$$

Извадете 114 и от двете страни.

$$2x^{2}-5x-3-114=0$$

Извадете 114 от -3, за да получите -117.

$$2x^{2}-5x-117=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, -5 вместо b и -117 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-117\right)}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-117\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-117\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по -117.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+936}}{2\times 2}$$

Съберете 25 с 936.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{961}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 961.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±31}{2\times 2}$$

Противоположното на -5 е 5.

$$x=\frac{5±31}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$x=\frac{5±31}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{5±31}{4}, когато ± е плюс. Съберете 5 с 31.

$$x=\frac{36}{4}$$

Разделете 36 на 4.

$$x=9$$

Сега решете уравнението x=\frac{5±31}{4}, когато ± е минус. Извадете 31 от 5.

$$x=-\frac{26}{4}$$

Намаляване на дробта \frac{-26}{4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{13}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=9 x=-\frac{13}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x+1 по x-3 и да групирате подобните членове.

$$2x^{2}-5x-3=114$$

Добавете 3 от двете страни.

$$2x^{2}-5x=114+3$$

Съберете 114 и 3, за да се получи 117.

$$2x^{2}-5x=117$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{117}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{117}{2}$$

Разделете -\frac{5}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{5}{4}. След това съберете квадрата на -\frac{5}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{117}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{5}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{117}{2}+\frac{25}{16}$$

Съберете \frac{117}{2} и \frac{25}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{961}{16}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{961}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{16}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{31}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{31}{4}$$

Съберете \frac{5}{4} към двете страни на уравнението.

$$x=9 x=-\frac{13}{2}$$