Решете (2x+1)^2=1+(x-1)(x+1)

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 1 + ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Решаване за x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Сметнете \left(x-1\right)\left(x+1\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Повдигане на квадрат на 1.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Извадете 1 от 1, за да получите 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Групирайте 4x^{2} и -x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 3x^{2}+ax+bx+1. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=1 b=3$$

Напишете 3x^{2}+4x+1 като \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Разложете на множители x в 3x^{2}+x.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Разложете на множители общия член 3x+1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 3x+1=0 и x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Сметнете \left(x-1\right)\left(x+1\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Повдигане на квадрат на 1.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Извадете 1 от 1, за да получите 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Групирайте 4x^{2} и -x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 3 вместо a, 4 вместо b и 1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Повдигане на квадрат на 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Умножете -4 по 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Съберете 16 с -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Получете корен квадратен от 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-4±2}{6}, когато ± е плюс. Съберете -4 с 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{-2}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-4±2}{6}, когато ± е минус. Извадете 2 от -4.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Разделете -6 на 6.

$$x=-1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Сметнете \left(x-1\right)\left(x+1\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Повдигане на квадрат на 1.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Извадете 1 от 1, за да получите 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Групирайте 4x^{2} и -x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Извадете 1 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Разделете двете страни на 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Делението на 3 отменя умножението по 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Разделете \frac{4}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{2}{3}. След това съберете квадрата на \frac{2}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{2}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Съберете -\frac{1}{3} и \frac{4}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Извадете \frac{2}{3} и от двете страни на уравнението.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$