Решете (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

Решаване за x

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Групирайте 4x^{2} и -x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Добавете 10x от двете страни.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Групирайте 4x и 10x, за да получите 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Извадете 25 и от двете страни.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Извадете 25 от 1, за да получите -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 3x^{2}+ax+bx-24. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -72 на продукта.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Решението е двойката, която дава сума 14.

$$a=-4 b=18$$

Напишете 3x^{2}+14x-24 като \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

Фактор, x в първата и 6 във втората група.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

Разложете на множители общия член 3x-4, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 3x-4=0 и x+6=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Групирайте 4x^{2} и -x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Добавете 10x от двете страни.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Групирайте 4x и 10x, за да получите 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Извадете 25 и от двете страни.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Извадете 25 от 1, за да получите -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 3 вместо a, 14 вместо b и -24 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Повдигане на квадрат на 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -4 по 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -12 по -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

Съберете 196 с 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Получете корен квадратен от 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-14±22}{6}, когато ± е плюс. Съберете -14 с 22.

$$x=\frac{8}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{8}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-14±22}{6}, когато ± е минус. Извадете 22 от -14.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Разделете -36 на 6.

$$x=-6$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Групирайте 4x^{2} и -x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Добавете 10x от двете страни.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Групирайте 4x и 10x, за да получите 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

Извадете 1 от 25, за да получите 24.

$$3x^{2}+14x=24$$

Разделете двете страни на 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

Делението на 3 отменя умножението по 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

Разделете 24 на 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

Разделете \frac{14}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{7}{3}. След това съберете квадрата на \frac{7}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{7}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

Съберете 8 с \frac{49}{9}.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

Извадете \frac{7}{3} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$