Решете (2t-3)^2-8(2t-3)+7=0

$$( 2 t - 3 ) ^ { 2 } - 8 ( 2 t - 3 ) + 7 = 0$$

Решаване за t

$$t=2$$

$$t=5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2t-3\right)^{2}.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -8 по 2t-3.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Групирайте -12t и -16t, за да получите -28t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Съберете 9 и 24, за да се получи 33.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Съберете 33 и 7, за да се получи 40.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Разделете двете страни на 4.

$$t^{2}-7t+10=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като t^{2}+at+bt+10. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-7 ab=1\times 10=10$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 10 на продукта.

$$-1,-10 -2,-5$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Решението е двойката, която дава сума -7.

$$a=-5 b=-2$$

Напишете t^{2}-7t+10 като \left(t^{2}-5t\right)+\left(-2t+10\right).

$$\left(t^{2}-5t\right)+\left(-2t+10\right)$$

Фактор, t в първата и -2 във втората група.

$$t\left(t-5\right)-2\left(t-5\right)$$

Разложете на множители общия член t-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(t-5\right)\left(t-2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете t-5=0 и t-2=0.

$$t=5 t=2$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2t-3\right)^{2}.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -8 по 2t-3.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Групирайте -12t и -16t, за да получите -28t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Съберете 9 и 24, за да се получи 33.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Съберете 33 и 7, за да се получи 40.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 4 вместо a, -28 вместо b и 40 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на -28.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по 40.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Съберете 784 с -640.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 144.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±12}{2\times 4}$$

Противоположното на -28 е 28.

$$t=\frac{28±12}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$t=\frac{28±12}{8}$$

Сега решете уравнението t=\frac{28±12}{8}, когато ± е плюс. Съберете 28 с 12.

$$t=\frac{40}{8}$$

Разделете 40 на 8.

$$t=5$$

Сега решете уравнението t=\frac{28±12}{8}, когато ± е минус. Извадете 12 от 28.

$$t=\frac{16}{8}$$

Разделете 16 на 8.

$$t=2$$

Уравнението сега е решено.

$$t=5 t=2$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2t-3\right)^{2}.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -8 по 2t-3.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Групирайте -12t и -16t, за да получите -28t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Съберете 9 и 24, за да се получи 33.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Съберете 33 и 7, за да се получи 40.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Извадете 40 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$4t^{2}-28t=-40$$

Разделете двете страни на 4.

$$\frac{4t^{2}-28t}{4}=-\frac{40}{4}$$

Делението на 4 отменя умножението по 4.

$$t^{2}+\left(-\frac{28}{4}\right)t=-\frac{40}{4}$$

Разделете -28 на 4.

$$t^{2}-7t=-\frac{40}{4}$$

Разделете -40 на 4.

$$t^{2}-7t=-10$$

Разделете -7 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{7}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{7}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$t^{2}-7t+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{7}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$t^{2}-7t+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Съберете -10 с \frac{49}{4}.

$$t^{2}-7t+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Разложете на множител t^{2}-7t+\frac{49}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Опростявайте.

$$t-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} t-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Съберете \frac{7}{2} към двете страни на уравнението.

$$t=5 t=2$$