Решете (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

Решаване за k

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2k-3\right)^{2}.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -4 по 3-2k.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

Извадете 12 от 9, за да получите -3.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

Групирайте -12k и 8k, за да получите -4k.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 4 за a, -4 за b и -3 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Извършете изчисленията.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Решете уравнението k=\frac{4±8}{8}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

За да бъде произведението отрицателно, k-\frac{3}{2} и k+\frac{1}{2} трябва да бъдат с противоположни знаци. Разгледайте случая, когато k-\frac{3}{2} е положително, а k+\frac{1}{2} е отрицателно.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

Това е невярно за всяко k.

$$k\in \emptyset$$

Разгледайте случая, когато k+\frac{1}{2} е положително, а k-\frac{3}{2} е отрицателно.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$