Решете (16-x)(9-x)=112

$$( 16 - x ) ( 9 - x ) = 112$$

Решаване за x

$$x = \frac{25 - \sqrt{497}}{2} \approx 1,353251595$$

$$x = \frac{\sqrt{497} + 25}{2} \approx 23,646748405$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 16-x по 9-x и да групирате подобните членове.

$$144-25x+x^{2}=112$$

Извадете 112 и от двете страни.

$$144-25x+x^{2}-112=0$$

Извадете 112 от 144, за да получите 32.

$$32-25x+x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x^{2}-25x+32=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, -25 вместо b и 32 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 32}}{2}$$

Повдигане на квадрат на -25.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 32}}{2}$$

Умножете -4 по 32.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-128}}{2}$$

Съберете 625 с -128.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{497}}{2}$$

Противоположното на -25 е 25.

$$x=\frac{25±\sqrt{497}}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{25±\sqrt{497}}{2}, когато ± е плюс. Съберете 25 с \sqrt{497}.

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{25±\sqrt{497}}{2}, когато ± е минус. Извадете \sqrt{497} от 25.

$$x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2} x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 16-x по 9-x и да групирате подобните членове.

$$144-25x+x^{2}=112$$

Извадете 144 и от двете страни.

$$-25x+x^{2}=112-144$$

Извадете 144 от 112, за да получите -32.

$$-25x+x^{2}=-32$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-25x=-32$$

Разделете -25 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{25}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{25}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{25}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-32+\frac{625}{4}$$

Съберете -32 с \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{497}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{497}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{497}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{\sqrt{497}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{\sqrt{497}}{2}$$

Съберете \frac{25}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2} x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$