Решете (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

Решаване за x

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33,333333333$$

$$x=-100$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Изчислявате 2 на степен 100 и получавате 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Съберете 10000 и 10000, за да се получи 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Извадете 400x и от двете страни.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Групирайте 200x и -400x, за да получите -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Извадете 10000 и от двете страни.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Извадете 10000 от 20000, за да получите 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -3x^{2}+ax+bx+10000. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -30000 на продукта.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

Решението е двойката, която дава сума -200.

$$a=100 b=-300$$

Напишете -3x^{2}-200x+10000 като \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right).

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

Фактор, -x в първата и -100 във втората група.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Разложете на множители общия член 3x-100, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 3x-100=0 и -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Изчислявате 2 на степен 100 и получавате 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Съберете 10000 и 10000, за да се получи 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Извадете 400x и от двете страни.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Групирайте 200x и -400x, за да получите -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Извадете 10000 и от двете страни.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Извадете 10000 от 20000, за да получите 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -3 вместо a, -200 вместо b и 10000 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Повдигане на квадрат на -200.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете -4 по -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 12 по 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

Съберете 40000 с 120000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

Получете корен квадратен от 160000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

Противоположното на -200 е 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

Умножете 2 по -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{200±400}{-6}, когато ± е плюс. Съберете 200 с 400.

$$x=\frac{600}{-6}$$

Разделете 600 на -6.

$$x=-100$$

Сега решете уравнението x=\frac{200±400}{-6}, когато ± е минус. Извадете 400 от 200.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

Намаляване на дробта \frac{-200}{-6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{100}{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Изчислявате 2 на степен 100 и получавате 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Съберете 10000 и 10000, за да се получи 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Групирайте x^{2} и -4x^{2}, за да получите -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Извадете 400x и от двете страни.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Групирайте 200x и -400x, за да получите -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Извадете 20000 и от двете страни.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

Извадете 20000 от 10000, за да получите -10000.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Разделете двете страни на -3.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

Делението на -3 отменя умножението по -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

Разделете -200 на -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

Разделете -10000 на -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

Разделете \frac{200}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{100}{3}. След това съберете квадрата на \frac{100}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{100}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Съберете \frac{10000}{3} и \frac{10000}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

Извадете \frac{100}{3} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$