Решете (-x+7)(sqrt{x^2+2x+5})=(x+1)(sqrt{x^2-14x+65})

$$( - x + 7 ) ( \sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 5 } ) = ( x + 1 ) ( \sqrt { x ^ { 2 } - 14 x + 65 } )$$

Решаване за x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\left(-x+7\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -x+7 по \sqrt{x^{2}+2x+5}.

$$\left(\left(-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}+7\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(\left(-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}+7\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}.

$$\left(-x\right)^{2}\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+14\left(-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}\sqrt{x^{2}+2x+5}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Умножете \sqrt{x^{2}+2x+5} по \sqrt{x^{2}+2x+5}, за да получите \left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}.

$$\left(-x\right)^{2}\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен -x и получавате x^{2}.

$$x^{2}\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}+2x+5} и получавате x^{2}+2x+5.

$$x^{2}\left(x^{2}+2x+5\right)+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2} по x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}+2x+5} и получавате x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)\left(x^{2}+2x+5\right)+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 14\left(-x\right) по x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}+2x+5} и получавате x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+49\left(x^{2}+2x+5\right)=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 49 по x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+49x^{2}+98x+245=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Групирайте 5x^{2} и 49x^{2}, за да получите 54x^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по \sqrt{x^{2}-14x+65}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=\left(x\sqrt{x^{2}-14x+65}+\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x\sqrt{x^{2}-14x+65}+\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+2x\sqrt{x^{2}-14x+65}\sqrt{x^{2}-14x+65}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Умножете \sqrt{x^{2}-14x+65} по \sqrt{x^{2}-14x+65}, за да получите \left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+2x\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}-14x+65} и получавате x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{2}\left(x^{2}-14x+65\right)+2x\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2} по x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-14x^{3}+65x^{2}+2x\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}-14x+65} и получавате x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-14x^{3}+65x^{2}+2x\left(x^{2}-14x+65\right)+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-14x^{3}+65x^{2}+2x^{3}-28x^{2}+130x+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Групирайте -14x^{3} и 2x^{3}, за да получите -12x^{3}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+65x^{2}-28x^{2}+130x+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Групирайте 65x^{2} и -28x^{2}, за да получите 37x^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+37x^{2}+130x+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}-14x+65} и получавате x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+37x^{2}+130x+x^{2}-14x+65$$

Групирайте 37x^{2} и x^{2}, за да получите 38x^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+38x^{2}+130x-14x+65$$

Групирайте 130x и -14x, за да получите 116x.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+38x^{2}+116x+65$$

Извадете x^{4} и от двете страни.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245-x^{4}=-12x^{3}+38x^{2}+116x+65$$

Групирайте x^{4} и -x^{4}, за да получите 0.

$$2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=-12x^{3}+38x^{2}+116x+65$$

Добавете 12x^{3} от двете страни.

$$2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245+12x^{3}=38x^{2}+116x+65$$

Групирайте 2x^{3} и 12x^{3}, за да получите 14x^{3}.

$$14x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=38x^{2}+116x+65$$

Извадете 38x^{2} и от двете страни.

$$14x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245-38x^{2}=116x+65$$

Групирайте 54x^{2} и -38x^{2}, за да получите 16x^{2}.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=116x+65$$

Извадете 116x и от двете страни.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245-116x=65$$

Групирайте 98x и -116x, за да получите -18x.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)-18x+245=65$$

Извадете 65 и от двете страни.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)-18x+245-65=0$$

Извадете 65 от 245, за да получите 180.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)-18x+180=0$$

За да умножите степени с една и съща основа, съберете техните експоненти. Съберете 1 и 2, за да получите 3.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-1\right)x^{3}+28\left(-1\right)xx+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Умножете 14 по -1, за да получите -14.

$$14x^{3}+16x^{2}-14x^{3}+28\left(-1\right)xx+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Групирайте 14x^{3} и -14x^{3}, за да получите 0.

$$16x^{2}+28\left(-1\right)xx+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$16x^{2}+28\left(-1\right)x^{2}+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Умножете 28 по -1, за да получите -28.

$$16x^{2}-28x^{2}+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Групирайте 16x^{2} и -28x^{2}, за да получите -12x^{2}.

$$-12x^{2}+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Умножете 70 по -1, за да получите -70.

$$-12x^{2}-70x-18x+180=0$$

Групирайте -70x и -18x, за да получите -88x.

$$-12x^{2}-88x+180=0$$

Разделете двете страни на 4.

$$-3x^{2}-22x+45=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -3x^{2}+ax+bx+45. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-22 ab=-3\times 45=-135$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -135 на продукта.

$$1,-135 3,-45 5,-27 9,-15$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-135=-134 3-45=-42 5-27=-22 9-15=-6$$

Решението е двойката, която дава сума -22.

$$a=5 b=-27$$

Напишете -3x^{2}-22x+45 като \left(-3x^{2}+5x\right)+\left(-27x+45\right).

$$\left(-3x^{2}+5x\right)+\left(-27x+45\right)$$

Фактор, -x в първата и -9 във втората група.

$$-x\left(3x-5\right)-9\left(3x-5\right)$$

Разложете на множители общия член 3x-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-5\right)\left(-x-9\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 3x-5=0 и -x-9=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-9$$

Заместете \frac{5}{3} вместо x в уравнението \left(-x+7\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}=\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}.

$$\left(-\frac{5}{3}+7\right)\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}+2\times \frac{5}{3}+5}=\left(\frac{5}{3}+1\right)\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}-14\times \frac{5}{3}+65}$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{5}{3} отговаря на уравнението.

$$\frac{160}{9}=\frac{160}{9}$$

Заместете -9 вместо x в уравнението \left(-x+7\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}=\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}.

$$\left(-\left(-9\right)+7\right)\sqrt{\left(-9\right)^{2}+2\left(-9\right)+5}=\left(-9+1\right)\sqrt{\left(-9\right)^{2}-14\left(-9\right)+65}$$

Опростявайте. Стойността x=-9 не отговаря на уравнението, защото лявата и дясната страна имат противоположни знаци.

$$32\times 17^{\frac{1}{2}}=-32\times 17^{\frac{1}{2}}$$

Уравнението \left(7-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}=\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65} има уникално решение.

$$x=\frac{5}{3}$$