Решете (1/2(2x+2)(x+4))-(1/2(x+1)(x))=60

$$( \frac{ 1 }{ 2 } (2x+2)(x+4))-( \frac{ 1 }{ 2 } (x+1)(x))=60$$

Решаване за x

$$x=-16$$

$$x=7$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите \frac{1}{2} по 2x+2.

$$\left(x+1\right)\left(x+4\right)-\frac{1}{2}\left(x+1\right)x=60$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по x+4 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}+5x+4-\frac{1}{2}\left(x+1\right)x=60$$

Извадете 60 и от двете страни.

$$x^{2}+5x+4-\frac{1}{2}\left(x+1\right)x-60=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -\frac{1}{2} по x+1.

$$x^{2}+5x+4+\left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)x-60=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} по x.

$$x^{2}+5x+4-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-60=0$$

Групирайте x^{2} и -\frac{1}{2}x^{2}, за да получите \frac{1}{2}x^{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}+5x+4-\frac{1}{2}x-60=0$$

Групирайте 5x и -\frac{1}{2}x, за да получите \frac{9}{2}x.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x+4-60=0$$

Извадете 60 от 4, за да получите -56.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x-56=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете \frac{1}{2} вместо a, \frac{9}{2} вместо b и -56 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}\left(-56\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Повдигнете на квадрат \frac{9}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-4\times \frac{1}{2}\left(-56\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Умножете -4 по \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-2\left(-56\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Умножете -2 по -56.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}+112}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Съберете \frac{81}{4} с 112.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{529}{4}}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Получете корен квадратен от \frac{529}{4}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{23}{2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Умножете 2 по \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{23}{2}}{1}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{23}{2}}{1}, когато ± е плюс. Съберете -\frac{9}{2} и \frac{23}{2}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=\frac{7}{1}$$

Разделете 7 на 1.

$$x=7$$

Сега решете уравнението x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{23}{2}}{1}, когато ± е минус. Извадете \frac{23}{2} от -\frac{9}{2}, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=-\frac{16}{1}$$

Разделете -16 на 1.

$$x=-16$$

Уравнението сега е решено.

$$x=7 x=-16$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите \frac{1}{2} по 2x+2.

$$\left(x+1\right)\left(x+4\right)-\frac{1}{2}\left(x+1\right)x=60$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по x+4 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}+5x+4-\frac{1}{2}\left(x+1\right)x=60$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -\frac{1}{2} по x+1.

$$x^{2}+5x+4+\left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)x=60$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} по x.

$$x^{2}+5x+4-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x=60$$

Групирайте x^{2} и -\frac{1}{2}x^{2}, за да получите \frac{1}{2}x^{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}+5x+4-\frac{1}{2}x=60$$

Групирайте 5x и -\frac{1}{2}x, за да получите \frac{9}{2}x.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x+4=60$$

Извадете 4 и от двете страни.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x=60-4$$

Извадете 4 от 60, за да получите 56.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x=56$$

Умножете и двете страни по 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x}{\frac{1}{2}}=\frac{56}{\frac{1}{2}}$$

Делението на \frac{1}{2} отменя умножението по \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{\frac{9}{2}}{\frac{1}{2}}x=\frac{56}{\frac{1}{2}}$$

Разделете \frac{9}{2} на \frac{1}{2} чрез умножаване на \frac{9}{2} по обратната стойност на \frac{1}{2}.

$$x^{2}+9x=\frac{56}{\frac{1}{2}}$$

Разделете 56 на \frac{1}{2} чрез умножаване на 56 по обратната стойност на \frac{1}{2}.

$$x^{2}+9x=112$$

Разделете 9 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{9}{2}. След това съберете квадрата на \frac{9}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=112+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{9}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=112+\frac{81}{4}$$

Съберете 112 с \frac{81}{4}.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=\frac{529}{4}$$

Разложете на множител x^{2}+9x+\frac{81}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{9}{2}=\frac{23}{2} x+\frac{9}{2}=-\frac{23}{2}$$

Извадете \frac{9}{2} и от двете страни на уравнението.

$$x=7 x=-16$$