Решете z^2+27=10z

$${ z }^{ 2 } +27 = 10z$$

Решаване за z

$$z=5+\sqrt{2}i\approx 5+1,414213562i$$

$$z=-\sqrt{2}i+5\approx 5-1,414213562i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете 10z и от двете страни.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$z^{2}-10z+27=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, -10 вместо b и 27 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 27}}{2}$$

Повдигане на квадрат на -10.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 27}}{2}$$

Умножете -4 по 27.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-108}}{2}$$

Съберете 100 с -108.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Получете корен квадратен от -8.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Противоположното на -10 е 10.

$$z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}$$

Сега решете уравнението z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}, когато ± е плюс. Съберете 10 с 2i\sqrt{2}.

$$z=\frac{10+2\sqrt{2}i}{2}$$

Разделете 10+2i\sqrt{2} на 2.

$$z=5+\sqrt{2}i$$

Сега решете уравнението z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}, когато ± е минус. Извадете 2i\sqrt{2} от 10.

$$z=\frac{-2\sqrt{2}i+10}{2}$$

Разделете 10-2i\sqrt{2} на 2.

$$z=-\sqrt{2}i+5$$

Уравнението сега е решено.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете 10z и от двете страни.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Извадете 27 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$z^{2}-10z=-27$$

Разделете -10 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -5. След това съберете квадрата на -5 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$z^{2}-10z+\left(-5\right)^{2}=-27+\left(-5\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -5.

$$z^{2}-10z+25=-27+25$$

Съберете -27 с 25.

$$z^{2}-10z+25=-2$$

Разложете на множител z^{2}-10z+25. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-5\right)^{2}=-2$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(z-5\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Опростявайте.

$$z-5=\sqrt{2}i z-5=-\sqrt{2}i$$

Съберете 5 към двете страни на уравнението.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$