Решете x^6-9x^4-16x^2+144=0

$${ x }^{ 6 } -9 { x }^{ 4 } -16 { x }^{ 2 } +144 = 0$$

Решаване за x

$$x=-3$$

$$x=3$$

$$x=2$$

$$x=-2$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 144, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±144,±72,±48,±36,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{6}-9x^{4}-16x^{2}+144 на x-2, за да получите x^{5}+2x^{4}-5x^{3}-10x^{2}-36x-72. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{5}+2x^{4}-5x^{3}-10x^{2}-36x-72=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -72, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±72,±36,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{5}+2x^{4}-5x^{3}-10x^{2}-36x-72 на x+2, за да получите x^{4}-5x^{2}-36. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{4}-5x^{2}-36=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -36, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±36,±18,±12,±9,±6,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-5x^{2}-36 на x-3, за да получите x^{3}+3x^{2}+4x+12. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}+3x^{2}+4x+12=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 12, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±12,±6,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+3x^{2}+4x+12 на x+3, за да получите x^{2}+4. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+4=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и 4 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=2 x=-2 x=3 x=-3$$

Решаване за x (complex solution)

$$x\in 2i,-2i,-3,3,-2,2$$