Решете x^6+1=x^4+x^2

$${ x }^{ 6 } +1= { x }^{ 4 } + { x }^{ 2 }$$

Решаване за x

$$x=-1$$

$$x=1$$

Стъпки на решението

Извадете x^{4} и от двете страни.

$$x^{6}+1-x^{4}=x^{2}$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$x^{6}+1-x^{4}-x^{2}=0$$

Преобразувайте уравнението в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$x^{6}-x^{4}-x^{2}+1=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 1, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{6}-x^{4}-x^{2}+1 на x-1, за да получите x^{5}+x^{4}-x-1. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{5}+x^{4}-x-1=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -1, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{5}+x^{4}-x-1 на x-1, за да получите x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 1, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1 на x+1, за да получите x^{3}+x^{2}+x+1. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}+x^{2}+x+1=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 1, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+x^{2}+x+1 на x+1, за да получите x^{2}+1. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=1 x=-1$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=i$$

$$x=-i$$

$$x=-1$$

$$x=1$$