Решете x^4-7x^3+13x^2+23x-78=0

$${ x }^{ 4 } -7 { x }^{ 3 } +13 { x }^{ 2 } +23x-78 = 0$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=-2$$

$$x=3$$

$$x=3-2i$$

$$x=3+2i$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -78, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±78,±39,±26,±13,±6,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-7x^{3}+13x^{2}+23x-78 на x+2, за да получите x^{3}-9x^{2}+31x-39. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}-9x^{2}+31x-39=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -39, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±39,±13,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-9x^{2}+31x-39 на x-3, за да получите x^{2}-6x+13. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}-6x+13=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -6 за b и 13 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{6±\sqrt{-16}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}-6x+13=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=3-2i x=3+2i$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-2 x=3 x=3-2i x=3+2i$$

Решаване за x

$$x=-2$$

$$x=3$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -78, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±78,±39,±26,±13,±6,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-7x^{3}+13x^{2}+23x-78 на x+2, за да получите x^{3}-9x^{2}+31x-39. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}-9x^{2}+31x-39=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -39, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±39,±13,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-9x^{2}+31x-39 на x-3, за да получите x^{2}-6x+13. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}-6x+13=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -6 за b и 13 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{6±\sqrt{-16}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-2 x=3$$