Решете x^4-18x^2+81

$${ x }^{ 4 } -18 { x }^{ 2 } +81$$

Разлагане на множители

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

Стъпки на решението

За да възложите израза, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{4}-18x^{2}+81=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 81, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±81,±27,±9,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-18x^{2}+81 на x-3, за да получите x^{3}+3x^{2}-9x-27. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{3}+3x^{2}-9x-27=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -27, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±27,±9,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+3x^{2}-9x-27 на x-3, за да получите x^{2}+6x+9. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{2}+6x+9=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 6 за b и 9 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 9}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-6±0}{2}$$

Решенията са еднакви.

$$x=-3$$

Пренапишете разложения на множители израз с помощта на получените корени.

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

Изчисляване

$$\left(x^{2}-9\right)^{2}$$