Решете x^3-x-1-x=0

$${ x }^{ 3 } -x-1-x=0$$

Решаване за x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

$$x=-1$$

Стъпки на решението

Преобразувайте уравнението в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$x^{3}-x-x-1=0$$

Умножете и групирайте подобните членове.

$$x^{3}-2x-1=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -1, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-2x-1 на x+1, за да получите x^{2}-x-1. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -1 за b и -1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}-x-1=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-1 x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$