Решете x^3+6x^2+16x+16=0

$${ x }^{ 3 } +6 { x }^{ 2 } +16x+16 = 0$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=-2-2i$$

$$x=-2$$

$$x=-2+2i$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 16, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+6x^{2}+16x+16 на x+2, за да получите x^{2}+4x+8. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+4x+8=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 4 за b и 8 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}+4x+8=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-2-2i x=-2+2i$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-2 x=-2-2i x=-2+2i$$

Решаване за x

$$x=-2$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 16, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+6x^{2}+16x+16 на x+2, за да получите x^{2}+4x+8. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+4x+8=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 4 за b и 8 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-2$$