Решете x^3+5x^2+4x+20=0

$${ x }^{ 3 } +5 { x }^{ 2 } +4x+20 = 0$$

Решаване за x

$$x=-5$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 20, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-5$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+5x^{2}+4x+20 на x+5, за да получите x^{2}+4. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+4=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и 4 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-5$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=2i$$

$$x=-2i$$

$$x=-5$$