Решете x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Решаване за x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -1 за b и -1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Решете уравнението x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

За да бъде положително произведението, трябва и двата множителя x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} и x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} да бъдат положителни или и двата да бъдат отрицателни. Разгледайте случая, когато x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} и x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} са отрицателни.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Разгледайте случая, когато x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} и x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} са положителни.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$