Решете x^2-4x+8+x^2/2-14x+100=-x/2-2x+52

$${ x }^{ 2 } -4x+8+ \frac{ { x }^{ 2 } }{ 2 } -14x+100 = - \frac{ x }{ 2 } -2x+52$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{31+\sqrt{383}i}{6}\approx 5,166666667+3,261730965i$$

$$x=\frac{-\sqrt{383}i+31}{6}\approx 5,166666667-3,261730965i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$2x^{2}-8x+16+x^{2}-28x+200=-x-4x+104$$

Групирайте 2x^{2} и x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}-8x+16-28x+200=-x-4x+104$$

Групирайте -8x и -28x, за да получите -36x.

$$3x^{2}-36x+16+200=-x-4x+104$$

Съберете 16 и 200, за да се получи 216.

$$3x^{2}-36x+216=-x-4x+104$$

Добавете x от двете страни.

$$3x^{2}-36x+216+x=-4x+104$$

Групирайте -36x и x, за да получите -35x.

$$3x^{2}-35x+216=-4x+104$$

Добавете 4x от двете страни.

$$3x^{2}-35x+216+4x=104$$

Групирайте -35x и 4x, за да получите -31x.

$$3x^{2}-31x+216=104$$

Извадете 104 и от двете страни.

$$3x^{2}-31x+216-104=0$$

Извадете 104 от 216, за да получите 112.

$$3x^{2}-31x+112=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 3 вместо a, -31 вместо b и 112 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\times 112}}{2\times 3}$$

Повдигане на квадрат на -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\times 112}}{2\times 3}$$

Умножете -4 по 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\times 112}}{2\times 3}$$

Умножете -12 по 112.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-1344}}{2\times 3}$$

Съберете 961 с -1344.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{-383}}{2\times 3}$$

Получете корен квадратен от -383.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{383}i}{2\times 3}$$

Противоположното на -31 е 31.

$$x=\frac{31±\sqrt{383}i}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$x=\frac{31±\sqrt{383}i}{6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{31±\sqrt{383}i}{6}, когато ± е плюс. Съберете 31 с i\sqrt{383}.

$$x=\frac{31+\sqrt{383}i}{6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{31±\sqrt{383}i}{6}, когато ± е минус. Извадете i\sqrt{383} от 31.

$$x=\frac{-\sqrt{383}i+31}{6}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{31+\sqrt{383}i}{6} x=\frac{-\sqrt{383}i+31}{6}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$2x^{2}-8x+16+x^{2}-28x+200=-x-4x+104$$

Групирайте 2x^{2} и x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}-8x+16-28x+200=-x-4x+104$$

Групирайте -8x и -28x, за да получите -36x.

$$3x^{2}-36x+16+200=-x-4x+104$$

Съберете 16 и 200, за да се получи 216.

$$3x^{2}-36x+216=-x-4x+104$$

Добавете x от двете страни.

$$3x^{2}-36x+216+x=-4x+104$$

Групирайте -36x и x, за да получите -35x.

$$3x^{2}-35x+216=-4x+104$$

Добавете 4x от двете страни.

$$3x^{2}-35x+216+4x=104$$

Групирайте -35x и 4x, за да получите -31x.

$$3x^{2}-31x+216=104$$

Извадете 216 и от двете страни.

$$3x^{2}-31x=104-216$$

Извадете 216 от 104, за да получите -112.

$$3x^{2}-31x=-112$$

Разделете двете страни на 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=-\frac{112}{3}$$

Делението на 3 отменя умножението по 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=-\frac{112}{3}$$

Разделете -\frac{31}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{31}{6}. След това съберете квадрата на -\frac{31}{6} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=-\frac{112}{3}+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{31}{6}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=-\frac{112}{3}+\frac{961}{36}$$

Съберете -\frac{112}{3} и \frac{961}{36}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=-\frac{383}{36}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=-\frac{383}{36}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{383}{36}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{\sqrt{383}i}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{\sqrt{383}i}{6}$$

Съберете \frac{31}{6} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{31+\sqrt{383}i}{6} x=\frac{-\sqrt{383}i+31}{6}$$