Решете x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Решаване за x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -3 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Решете уравнението x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

За да бъде произведението отрицателно, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} и x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} трябва да бъдат с противоположни знаци. Разгледайте случая, когато x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} е положително, а x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} е отрицателно.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Това е невярно за всяко x.

$$x\in \emptyset$$

Разгледайте случая, когато x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} е положително, а x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} е отрицателно.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$