Решете x^2-(7+x/2)((7+x/2)+x)=11

$${ x }^{ 2 } -( \frac{ 7+x }{ 2 } )(( \frac{ 7+x }{ 2 } )+x)=11$$

Решаване за x

$$x=-3$$

$$x=31$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$2x^{2}-\left(7+x\right)\left(\frac{7+x}{2}+x\right)=22$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 7+x по \frac{7+x}{2}+x.

$$2x^{2}-\left(7\times \frac{7+x}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Изразете 7\times \frac{7+x}{2} като една дроб.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Изразете x\times \frac{7+x}{2} като една дроб.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+\frac{x\left(7+x\right)}{2}+x^{2}\right)=22$$

Тъй като \frac{7\left(7+x\right)}{2} и \frac{x\left(7+x\right)}{2} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right)}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Извършете умноженията в 7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right).

$$2x^{2}-\left(\frac{49+7x+7x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Обединете подобните членове в 49+7x+7x+x^{2}.

$$2x^{2}-\left(\frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

За да намерите противоположната стойност на \frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$2x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x-x^{2}=22$$

Групирайте 2x^{2} и -x^{2}, за да получите x^{2}.

$$x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x=22$$

Разделете всеки член на 49+14x+x^{2} на 2, за да получите \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}-\left(\frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}\right)-7x=22$$

За да намерите противоположната стойност на \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x^{2}-\frac{49}{2}-7x-\frac{1}{2}x^{2}-7x=22$$

Групирайте x^{2} и -\frac{1}{2}x^{2}, за да получите \frac{1}{2}x^{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-7x-7x=22$$

Групирайте -7x и -7x, за да получите -14x.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x=22$$

Извадете 22 и от двете страни.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x-22=0$$

Извадете 22 от -\frac{49}{2}, за да получите -\frac{93}{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{93}{2}-14x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x-\frac{93}{2}=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете \frac{1}{2} вместо a, -14 вместо b и -\frac{93}{2} вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Повдигане на квадрат на -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times \frac{1}{2}\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Умножете -4 по \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-2\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Умножете -2 по -\frac{93}{2}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+93}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Съберете 196 с 93.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{289}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Получете корен квадратен от 289.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±17}{2\times \frac{1}{2}}$$

Противоположното на -14 е 14.

$$x=\frac{14±17}{2\times \frac{1}{2}}$$

Умножете 2 по \frac{1}{2}.

$$x=\frac{14±17}{1}$$

Сега решете уравнението x=\frac{14±17}{1}, когато ± е плюс. Съберете 14 с 17.

$$x=\frac{31}{1}$$

Разделете 31 на 1.

$$x=31$$

Сега решете уравнението x=\frac{14±17}{1}, когато ± е минус. Извадете 17 от 14.

$$x=-\frac{3}{1}$$

Разделете -3 на 1.

$$x=-3$$

Уравнението сега е решено.

$$x=31 x=-3$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$2x^{2}-\left(7+x\right)\left(\frac{7+x}{2}+x\right)=22$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 7+x по \frac{7+x}{2}+x.

$$2x^{2}-\left(7\times \frac{7+x}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Изразете 7\times \frac{7+x}{2} като една дроб.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Изразете x\times \frac{7+x}{2} като една дроб.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+\frac{x\left(7+x\right)}{2}+x^{2}\right)=22$$

Тъй като \frac{7\left(7+x\right)}{2} и \frac{x\left(7+x\right)}{2} имат един и същ знаменател, съберете ги, като съберете техните числители.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right)}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Извършете умноженията в 7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right).

$$2x^{2}-\left(\frac{49+7x+7x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Обединете подобните членове в 49+7x+7x+x^{2}.

$$2x^{2}-\left(\frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

За да намерите противоположната стойност на \frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$2x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x-x^{2}=22$$

Групирайте 2x^{2} и -x^{2}, за да получите x^{2}.

$$x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x=22$$

Разделете всеки член на 49+14x+x^{2} на 2, за да получите \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}-\left(\frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}\right)-7x=22$$

За да намерите противоположната стойност на \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x^{2}-\frac{49}{2}-7x-\frac{1}{2}x^{2}-7x=22$$

Групирайте x^{2} и -\frac{1}{2}x^{2}, за да получите \frac{1}{2}x^{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-7x-7x=22$$

Групирайте -7x и -7x, за да получите -14x.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x=22$$

Добавете \frac{49}{2} от двете страни.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x=22+\frac{49}{2}$$

Съберете 22 и \frac{49}{2}, за да се получи \frac{93}{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x=\frac{93}{2}$$

Умножете и двете страни по 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}-14x}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Делението на \frac{1}{2} отменя умножението по \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{\frac{1}{2}}\right)x=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Разделете -14 на \frac{1}{2} чрез умножаване на -14 по обратната стойност на \frac{1}{2}.

$$x^{2}-28x=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Разделете \frac{93}{2} на \frac{1}{2} чрез умножаване на \frac{93}{2} по обратната стойност на \frac{1}{2}.

$$x^{2}-28x=93$$

Разделете -28 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -14. След това съберете квадрата на -14 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-28x+\left(-14\right)^{2}=93+\left(-14\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -14.

$$x^{2}-28x+196=93+196$$

Съберете 93 с 196.

$$x^{2}-28x+196=289$$

Разложете на множител x^{2}-28x+196. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-14\right)^{2}=289$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-14\right)^{2}}=\sqrt{289}$$

Опростявайте.

$$x-14=17 x-14=-17$$

Съберете 14 към двете страни на уравнението.

$$x=31 x=-3$$