Решете x^2+34x+240=0

$${ x }^{ 2 } +34x+240=0$$

Решаване за x

$$x=-24$$

$$x=-10$$

Стъпки с разлагане на множители

За да се реши уравнението, коефициентът x^{2}+34x+240 с помощта на формула x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=34 ab=240$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 240 на продукта.

$$1,240 2,120 3,80 4,60 5,48 6,40 8,30 10,24 12,20 15,16$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+240=241 2+120=122 3+80=83 4+60=64 5+48=53 6+40=46 8+30=38 10+24=34 12+20=32 15+16=31$$

Решението е двойката, която дава сума 34.

$$a=10 b=24$$

Пренапишете разложения на множители израз \left(x+a\right)\left(x+b\right) с помощта на получените стойности.

$$\left(x+10\right)\left(x+24\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x+10=0 и x+24=0.

$$x=-10 x=-24$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx+240. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=34 ab=1\times 240=240$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 240 на продукта.

$$1,240 2,120 3,80 4,60 5,48 6,40 8,30 10,24 12,20 15,16$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+240=241 2+120=122 3+80=83 4+60=64 5+48=53 6+40=46 8+30=38 10+24=34 12+20=32 15+16=31$$

Решението е двойката, която дава сума 34.

$$a=10 b=24$$

Напишете x^{2}+34x+240 като \left(x^{2}+10x\right)+\left(24x+240\right).

$$\left(x^{2}+10x\right)+\left(24x+240\right)$$

Фактор, x в първата и 24 във втората група.

$$x\left(x+10\right)+24\left(x+10\right)$$

Разложете на множители общия член x+10, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x+10\right)\left(x+24\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x+10=0 и x+24=0.

$$x=-10 x=-24$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x^{2}+34x+240=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, 34 вместо b и 240 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\times 240}}{2}$$

Повдигане на квадрат на 34.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-4\times 240}}{2}$$

Умножете -4 по 240.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-960}}{2}$$

Съберете 1156 с -960.

$$x=\frac{-34±\sqrt{196}}{2}$$

Получете корен квадратен от 196.

$$x=\frac{-34±14}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-34±14}{2}, когато ± е плюс. Съберете -34 с 14.

$$x=-\frac{20}{2}$$

Разделете -20 на 2.

$$x=-10$$

Сега решете уравнението x=\frac{-34±14}{2}, когато ± е минус. Извадете 14 от -34.

$$x=-\frac{48}{2}$$

Разделете -48 на 2.

$$x=-24$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-10 x=-24$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+34x+240=0$$

Извадете 240 и от двете страни на уравнението.

$$x^{2}+34x+240-240=-240$$

Изваждане на 240 от самото него дава 0.

$$x^{2}+34x=-240$$

Разделете 34 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 17. След това съберете квадрата на 17 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+34x+17^{2}=-240+17^{2}$$

Повдигане на квадрат на 17.

$$x^{2}+34x+289=-240+289$$

Съберете -240 с 289.

$$x^{2}+34x+289=49$$

Разложете на множител x^{2}+34x+289. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+17\right)^{2}=49$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+17\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Опростявайте.

$$x+17=7 x+17=-7$$

Извадете 17 и от двете страни на уравнението.

$$x=-10 x=-24$$