Решете x^2+2{left(sqrt{2}div2x-2sqrt{2}right)}^2=8

$${ x }^{ 2 } +2 { \left( \sqrt{ 2 } \div 2x-2 \sqrt{ 2 } \right) }^{ 2 } =8$$

Решаване за x

$$x=2$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Изразете \frac{\sqrt{2}}{2}x като една дроб.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

За да повдигнете \frac{\sqrt{2}x}{2} на степен, повдигнете числителя и знаменателя на тази степен и след това ги разделете.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Съкратете най-големия общ множител 2 в 4 и 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Квадратът на \sqrt{2} е 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Умножете 4 по 2, за да получите 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Разложете \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Квадратът на \sqrt{2} е 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Разделете 2x^{2} на 4, за да получите \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Умножете 2 по \frac{1}{2}, за да получите 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Квадратът на \sqrt{2} е 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Умножете -4 по 2, за да получите -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Извадете 8 и от двете страни.

$$2x^{2}-8x+16-8=0$$

Извадете 8 от 16, за да получите 8.

$$2x^{2}-8x+8=0$$

Разделете двете страни на 2.

$$x^{2}-4x+4=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx+4. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-4 ab=1\times 4=4$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 4 на продукта.

$$-1,-4 -2,-2$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Решението е двойката, която дава сума -4.

$$a=-2 b=-2$$

Напишете x^{2}-4x+4 като \left(x^{2}-2x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Фактор, x в първата и -2 във втората група.

$$x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Разложете на множители общия член x-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-2\right)\left(x-2\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(x-2\right)^{2}$$

За да намерите решение за уравнението, решете x-2=0.

$$x=2$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Изразете \frac{\sqrt{2}}{2}x като една дроб.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

За да повдигнете \frac{\sqrt{2}x}{2} на степен, повдигнете числителя и знаменателя на тази степен и след това ги разделете.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Съкратете най-големия общ множител 2 в 4 и 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Квадратът на \sqrt{2} е 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Умножете 4 по 2, за да получите 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Разложете \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Квадратът на \sqrt{2} е 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Разделете 2x^{2} на 4, за да получите \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Умножете 2 по \frac{1}{2}, за да получите 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Квадратът на \sqrt{2} е 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Умножете -4 по 2, за да получите -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Извадете 8 и от двете страни.

$$2x^{2}-8x+16-8=0$$

Извадете 8 от 16, за да получите 8.

$$2x^{2}-8x+8=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, -8 вместо b и 8 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\times 8}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-64}}{2\times 2}$$

Съберете 64 с -64.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$x=-\frac{-8}{2\times 2}$$

Противоположното на -8 е 8.

$$x=\frac{8}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$x=\frac{8}{4}$$

Разделете 8 на 4.

$$x=2$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Изразете \frac{\sqrt{2}}{2}x като една дроб.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

За да повдигнете \frac{\sqrt{2}x}{2} на степен, повдигнете числителя и знаменателя на тази степен и след това ги разделете.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Съкратете най-големия общ множител 2 в 4 и 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Квадратът на \sqrt{2} е 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Умножете 4 по 2, за да получите 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Разложете \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Квадратът на \sqrt{2} е 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Разделете 2x^{2} на 4, за да получите \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Умножете 2 по \frac{1}{2}, за да получите 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Квадратът на \sqrt{2} е 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Умножете -4 по 2, за да получите -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Извадете 16 и от двете страни.

$$2x^{2}-8x=8-16$$

Извадете 16 от 8, за да получите -8.

$$2x^{2}-8x=-8$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=-\frac{8}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=-\frac{8}{2}$$

Разделете -8 на 2.

$$x^{2}-4x=-\frac{8}{2}$$

Разделете -8 на 2.

$$x^{2}-4x=-4$$

Разделете -4 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -2. След това съберете квадрата на -2 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-4+\left(-2\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -2.

$$x^{2}-4x+4=-4+4$$

Съберете -4 с 4.

$$x^{2}-4x+4=0$$

Разложете на множител x^{2}-4x+4. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Опростявайте.

$$x-2=0 x-2=0$$

Съберете 2 към двете страни на уравнението.

$$x=2 x=2$$

Уравнението сега е решено. Решенията са еднакви.

$$x=2$$