Решете x^2+left(6+xright)^2=68

$${ x }^{ 2 } + { \left(6+x \right) }^{ 2 } = 68$$

Решаване за x

$$x=-8$$

$$x=2$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(6+x\right)^{2}.

$$x^{2}+36+12x+x^{2}=68$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}+36+12x=68$$

Извадете 68 и от двете страни.

$$2x^{2}+36+12x-68=0$$

Извадете 68 от 36, за да получите -32.

$$2x^{2}-32+12x=0$$

Разделете двете страни на 2.

$$x^{2}-16+6x=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$x^{2}+6x-16=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx-16. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=6 ab=1\left(-16\right)=-16$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -16 на продукта.

$$-1,16 -2,8 -4,4$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+16=15 -2+8=6 -4+4=0$$

Решението е двойката, която дава сума 6.

$$a=-2 b=8$$

Напишете x^{2}+6x-16 като \left(x^{2}-2x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(8x-16\right)$$

Фактор, x в първата и 8 във втората група.

$$x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Разложете на множители общия член x-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-2\right)\left(x+8\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-2=0 и x+8=0.

$$x=2 x=-8$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(6+x\right)^{2}.

$$x^{2}+36+12x+x^{2}=68$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}+36+12x=68$$

Извадете 68 и от двете страни.

$$2x^{2}+36+12x-68=0$$

Извадете 68 от 36, за да получите -32.

$$2x^{2}-32+12x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$2x^{2}+12x-32=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, 12 вместо b и -32 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по -32.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+256}}{2\times 2}$$

Съберете 144 с 256.

$$x=\frac{-12±\sqrt{400}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 400.

$$x=\frac{-12±20}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$x=\frac{-12±20}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-12±20}{4}, когато ± е плюс. Съберете -12 с 20.

$$x=\frac{8}{4}$$

Разделете 8 на 4.

$$x=2$$

Сега решете уравнението x=\frac{-12±20}{4}, когато ± е минус. Извадете 20 от -12.

$$x=-\frac{32}{4}$$

Разделете -32 на 4.

$$x=-8$$

Уравнението сега е решено.

$$x=2 x=-8$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(6+x\right)^{2}.

$$x^{2}+36+12x+x^{2}=68$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}+36+12x=68$$

Извадете 36 и от двете страни.

$$2x^{2}+12x=68-36$$

Извадете 36 от 68, за да получите 32.

$$2x^{2}+12x=32$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=\frac{32}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=\frac{32}{2}$$

Разделете 12 на 2.

$$x^{2}+6x=\frac{32}{2}$$

Разделете 32 на 2.

$$x^{2}+6x=16$$

Разделете 6 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 3. След това съберете квадрата на 3 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+6x+3^{2}=16+3^{2}$$

Повдигане на квадрат на 3.

$$x^{2}+6x+9=16+9$$

Съберете 16 с 9.

$$x^{2}+6x+9=25$$

Разложете на множител x^{2}+6x+9. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=25$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Опростявайте.

$$x+3=5 x+3=-5$$

Извадете 3 и от двете страни на уравнението.

$$x=2 x=-8$$