Решете x^2+left(x+2right)left(11x-7right)=4

$${ x }^{ 2 } + \left( x+2 \right) \left( 11x-7 \right) = 4$$

Решаване за x

$$x=-2$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по 11x-7 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}+11x^{2}+15x-14=4$$

Групирайте x^{2} и 11x^{2}, за да получите 12x^{2}.

$$12x^{2}+15x-14=4$$

Извадете 4 и от двете страни.

$$12x^{2}+15x-14-4=0$$

Извадете 4 от -14, за да получите -18.

$$12x^{2}+15x-18=0$$

Разделете двете страни на 3.

$$4x^{2}+5x-6=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 4x^{2}+ax+bx-6. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=5 ab=4\left(-6\right)=-24$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -24 на продукта.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Решението е двойката, която дава сума 5.

$$a=-3 b=8$$

Напишете 4x^{2}+5x-6 като \left(4x^{2}-3x\right)+\left(8x-6\right).

$$\left(4x^{2}-3x\right)+\left(8x-6\right)$$

Фактор, x в първата и 2 във втората група.

$$x\left(4x-3\right)+2\left(4x-3\right)$$

Разложете на множители общия член 4x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(4x-3\right)\left(x+2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 4x-3=0 и x+2=0.

$$x=\frac{3}{4} x=-2$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по 11x-7 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}+11x^{2}+15x-14=4$$

Групирайте x^{2} и 11x^{2}, за да получите 12x^{2}.

$$12x^{2}+15x-14=4$$

Извадете 4 и от двете страни.

$$12x^{2}+15x-14-4=0$$

Извадете 4 от -14, за да получите -18.

$$12x^{2}+15x-18=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 12 вместо a, 15 вместо b и -18 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 12\left(-18\right)}}{2\times 12}$$

Повдигане на квадрат на 15.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 12\left(-18\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -4 по 12.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-48\left(-18\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -48 по -18.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+864}}{2\times 12}$$

Съберете 225 с 864.

$$x=\frac{-15±\sqrt{1089}}{2\times 12}$$

Получете корен квадратен от 1089.

$$x=\frac{-15±33}{2\times 12}$$

Умножете 2 по 12.

$$x=\frac{-15±33}{24}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-15±33}{24}, когато ± е плюс. Съберете -15 с 33.

$$x=\frac{18}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{18}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-15±33}{24}, когато ± е минус. Извадете 33 от -15.

$$x=-\frac{48}{24}$$

Разделете -48 на 24.

$$x=-2$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{3}{4} x=-2$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+2 по 11x-7 и да групирате подобните членове.

$$x^{2}+11x^{2}+15x-14=4$$

Групирайте x^{2} и 11x^{2}, за да получите 12x^{2}.

$$12x^{2}+15x-14=4$$

Добавете 14 от двете страни.

$$12x^{2}+15x=4+14$$

Съберете 4 и 14, за да се получи 18.

$$12x^{2}+15x=18$$

Разделете двете страни на 12.

$$\frac{12x^{2}+15x}{12}=\frac{18}{12}$$

Делението на 12 отменя умножението по 12.

$$x^{2}+\frac{15}{12}x=\frac{18}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{15}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{18}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{18}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{3}{2}$$

Разделете \frac{5}{4} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{5}{8}. След това съберете квадрата на \frac{5}{8} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{5}{8}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{3}{2}+\frac{25}{64}$$

Съберете \frac{3}{2} и \frac{25}{64}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{121}{64}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{121}{64}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{64}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{11}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{11}{8}$$

Извадете \frac{5}{8} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{3}{4} x=-2$$