Решете n^3+n^2+n=1110

$${ n }^{ 3 } + { n }^{ 2 } +n = 1110$$

Решаване за n

$$n=10$$

Стъпки на решението

Извадете 1110 и от двете страни.

$$n^{3}+n^{2}+n-1110=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -1110, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±1110,±555,±370,±222,±185,±111,±74,±37,±30,±15,±10,±6,±5,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$n=10$$

Според теоремата за множителите n-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете n^{3}+n^{2}+n-1110 на n-10, за да получите n^{2}+11n+111. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$n^{2}+11n+111=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 11 за b и 111 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$n=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 1\times 111}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$n=\frac{-11±\sqrt{-323}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$n\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$n=10$$