Решете 4^2-4x(5-x)=0

$${ 4 }^{ 2 } -4x(5-x)=0$$

Решаване за x

$$x=1$$

$$x=4$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Изчислявате 2 на степен 4 и получавате 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -4x по 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Разделете двете страни на 4.

$$4-5x+x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$x^{2}-5x+4=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx+4. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 4 на продукта.

$$-1,-4 -2,-2$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Решението е двойката, която дава сума -5.

$$a=-4 b=-1$$

Напишете x^{2}-5x+4 като \left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Фактор, x в първата и -1 във втората група.

$$x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Разложете на множители общия член x-4, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-4=0 и x-1=0.

$$x=4 x=1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Изчислявате 2 на степен 4 и получавате 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -4x по 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$4x^{2}-20x+16=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 4 вместо a, -20 вместо b и 16 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\times 16}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по 16.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-256}}{2\times 4}$$

Съберете 400 с -256.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 144.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±12}{2\times 4}$$

Противоположното на -20 е 20.

$$x=\frac{20±12}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$x=\frac{20±12}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{20±12}{8}, когато ± е плюс. Съберете 20 с 12.

$$x=\frac{32}{8}$$

Разделете 32 на 8.

$$x=4$$

Сега решете уравнението x=\frac{20±12}{8}, когато ± е минус. Извадете 12 от 20.

$$x=\frac{8}{8}$$

Разделете 8 на 8.

$$x=1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=4 x=1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Изчислявате 2 на степен 4 и получавате 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -4x по 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Извадете 16 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$-20x+4x^{2}=-16$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-20x=-16$$

Разделете двете страни на 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=-\frac{16}{4}$$

Делението на 4 отменя умножението по 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=-\frac{16}{4}$$

Разделете -20 на 4.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{4}$$

Разделете -16 на 4.

$$x^{2}-5x=-4$$

Разделете -5 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{5}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{5}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{5}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Съберете -4 с \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Съберете \frac{5}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=4 x=1$$