Решете {left(x-1/xright)}^2=20

$${ \left(x- \frac{ 1 }{ x } \right) }^{ 2 } =20$$

Решаване за x

$$x=\sqrt{5}-\sqrt{6}\approx -0,213421765$$

$$x=\sqrt{5}+\sqrt{6}\approx 4,68555772$$

$$x=\sqrt{6}-\sqrt{5}\approx 0,213421765$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)\approx -4,68555772$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Умножете x по \frac{x}{x}.

$$\left(\frac{xx}{x}-\frac{1}{x}\right)^{2}=20$$

Тъй като \frac{xx}{x} и \frac{1}{x} имат един и същ знаменател, извадете ги, като извадите техните числители.

$$\left(\frac{xx-1}{x}\right)^{2}=20$$

Извършете умноженията в xx-1.

$$\left(\frac{x^{2}-1}{x}\right)^{2}=20$$

За да повдигнете \frac{x^{2}-1}{x} на степен, повдигнете числителя и знаменателя на тази степен и след това ги разделете.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)^{2}}{x^{2}}=20$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1}{x^{2}}=20$$

За да повдигнете едно число, повдигнато на степен, на друга степен, умножете експонентите. Умножете 2 по 2, за да получите 4.

$$\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}}=20$$

Извадете 20 и от двете страни.

$$\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}}-20=0$$

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Умножете 20 по \frac{x^{2}}{x^{2}}.

$$\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}}-\frac{20x^{2}}{x^{2}}=0$$

Тъй като \frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}} и \frac{20x^{2}}{x^{2}} имат един и същ знаменател, извадете ги, като извадите техните числители.

$$\frac{x^{4}-2x^{2}+1-20x^{2}}{x^{2}}=0$$

Обединете подобните членове в x^{4}-2x^{2}+1-20x^{2}.

$$\frac{x^{4}-22x^{2}+1}{x^{2}}=0$$

Променливата x не може да бъде равна на 0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по x^{2}.

$$x^{4}-22x^{2}+1=0$$

Заместете x^{2} с t.

$$t^{2}-22t+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -22 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$t=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$t=\frac{22±4\sqrt{30}}{2}$$

Решете уравнението t=\frac{22±4\sqrt{30}}{2}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$t=2\sqrt{30}+11 t=11-2\sqrt{30}$$

Тъй като x=t^{2}, решенията са получени чрез оценяване на x=±\sqrt{t} за всеки t.

$$x=\sqrt{5}+\sqrt{6} x=-\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right) x=-\left(\sqrt{5}-\sqrt{6}\right) x=\sqrt{5}-\sqrt{6}$$