Решете left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Решаване за x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}+22x+121, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Групирайте x^{2} и -x^{2}, за да получите 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Групирайте 28x и -22x, за да получите 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Извадете 121 от 196, за да получите 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Добавете 12x от двете страни.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Групирайте 6x и 12x, за да получите 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Извадете 36 и от двете страни.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Извадете 36 от 75, за да получите 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 18 вместо b и 39 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 324 с 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -18 с 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Разделете -18+4\sqrt{30} на -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}, когато ± е минус. Извадете 4\sqrt{30} от -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Разделете -18-4\sqrt{30} на -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Уравнението сега е решено.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}+22x+121, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Групирайте x^{2} и -x^{2}, за да получите 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Групирайте 28x и -22x, за да получите 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Извадете 121 от 196, за да получите 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Добавете 12x от двете страни.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Групирайте 6x и 12x, за да получите 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Извадете 75 и от двете страни.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Извадете 75 от 36, за да получите -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Разделете 18 на -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Разделете -39 на -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Разделете -18 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -9. След това съберете квадрата на -9 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -9.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Съберете 39 с 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Разложете на множител x^{2}-18x+81. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Опростявайте.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Съберете 9 към двете страни на уравнението.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$