Решете left(x+1right)^2+left(x+2right)^2=x+12

$${ \left(x+1 \right) }^{ 2 } + { \left(x+2 \right) }^{ 2 } =x+12$$

Решаване за x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Групирайте 2x и 4x, за да получите 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Съберете 1 и 4, за да се получи 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Извадете x и от двете страни.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Групирайте 6x и -x, за да получите 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Извадете 12 и от двете страни.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Извадете 12 от 5, за да получите -7.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 2x^{2}+ax+bx-7. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -14 на продукта.

$$-1,14 -2,7$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Решението е двойката, която дава сума 5.

$$a=-2 b=7$$

Напишете 2x^{2}+5x-7 като \left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right)$$

Фактор, 2x в първата и 7 във втората група.

$$2x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Разложете на множители общия член x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-1\right)\left(2x+7\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-1=0 и 2x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Групирайте 2x и 4x, за да получите 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Съберете 1 и 4, за да се получи 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Извадете x и от двете страни.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Групирайте 6x и -x, за да получите 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Извадете 12 и от двете страни.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Извадете 12 от 5, за да получите -7.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, 5 вместо b и -7 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Съберете 25 с 56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 81.

$$x=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$x=\frac{-5±9}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-5±9}{4}, когато ± е плюс. Съберете -5 с 9.

$$x=\frac{4}{4}$$

Разделете 4 на 4.

$$x=1$$

Сега решете уравнението x=\frac{-5±9}{4}, когато ± е минус. Извадете 9 от -5.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Намаляване на дробта \frac{-14}{4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Групирайте 2x и 4x, за да получите 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Съберете 1 и 4, за да се получи 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Извадете x и от двете страни.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Групирайте 6x и -x, за да получите 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Извадете 5 и от двете страни.

$$2x^{2}+5x=12-5$$

Извадете 5 от 12, за да получите 7.

$$2x^{2}+5x=7$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{7}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

Разделете \frac{5}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{5}{4}. След това съберете квадрата на \frac{5}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{5}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Съберете \frac{7}{2} и \frac{25}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Извадете \frac{5}{4} и от двете страни на уравнението.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$