Решете left(5x+1right)^2-3(5x+1)-4=0

$${ \left(5x+1 \right) }^{ 2 } -3(5x+1)-4=0$$

Решаване за x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x+1\right)^{2}.

$$25x^{2}+10x+1-3\left(5x+1\right)-4=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -3 по 5x+1.

$$25x^{2}+10x+1-15x-3-4=0$$

Групирайте 10x и -15x, за да получите -5x.

$$25x^{2}-5x+1-3-4=0$$

Извадете 3 от 1, за да получите -2.

$$25x^{2}-5x-2-4=0$$

Извадете 4 от -2, за да получите -6.

$$25x^{2}-5x-6=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 25x^{2}+ax+bx-6. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-5 ab=25\left(-6\right)=-150$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -150 на продукта.

$$1,-150 2,-75 3,-50 5,-30 6,-25 10,-15$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-150=-149 2-75=-73 3-50=-47 5-30=-25 6-25=-19 10-15=-5$$

Решението е двойката, която дава сума -5.

$$a=-15 b=10$$

Напишете 25x^{2}-5x-6 като \left(25x^{2}-15x\right)+\left(10x-6\right).

$$\left(25x^{2}-15x\right)+\left(10x-6\right)$$

Фактор, 5x в първата и 2 във втората група.

$$5x\left(5x-3\right)+2\left(5x-3\right)$$

Разложете на множители общия член 5x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(5x-3\right)\left(5x+2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 5x-3=0 и 5x+2=0.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{2}{5}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x+1\right)^{2}.

$$25x^{2}+10x+1-3\left(5x+1\right)-4=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -3 по 5x+1.

$$25x^{2}+10x+1-15x-3-4=0$$

Групирайте 10x и -15x, за да получите -5x.

$$25x^{2}-5x+1-3-4=0$$

Извадете 3 от 1, за да получите -2.

$$25x^{2}-5x-2-4=0$$

Извадете 4 от -2, за да получите -6.

$$25x^{2}-5x-6=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 25 вместо a, -5 вместо b и -6 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 25\left(-6\right)}}{2\times 25}$$

Повдигане на квадрат на -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 25\left(-6\right)}}{2\times 25}$$

Умножете -4 по 25.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-100\left(-6\right)}}{2\times 25}$$

Умножете -100 по -6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+600}}{2\times 25}$$

Съберете 25 с 600.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{625}}{2\times 25}$$

Получете корен квадратен от 625.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±25}{2\times 25}$$

Противоположното на -5 е 5.

$$x=\frac{5±25}{2\times 25}$$

Умножете 2 по 25.

$$x=\frac{5±25}{50}$$

Сега решете уравнението x=\frac{5±25}{50}, когато ± е плюс. Съберете 5 с 25.

$$x=\frac{30}{50}$$

Намаляване на дробта \frac{30}{50} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$x=\frac{3}{5}$$

Сега решете уравнението x=\frac{5±25}{50}, когато ± е минус. Извадете 25 от 5.

$$x=-\frac{20}{50}$$

Намаляване на дробта \frac{-20}{50} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{2}{5}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(5x+1\right)^{2}.

$$25x^{2}+10x+1-3\left(5x+1\right)-4=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -3 по 5x+1.

$$25x^{2}+10x+1-15x-3-4=0$$

Групирайте 10x и -15x, за да получите -5x.

$$25x^{2}-5x+1-3-4=0$$

Извадете 3 от 1, за да получите -2.

$$25x^{2}-5x-2-4=0$$

Извадете 4 от -2, за да получите -6.

$$25x^{2}-5x-6=0$$

Добавете 6 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$25x^{2}-5x=6$$

Разделете двете страни на 25.

$$\frac{25x^{2}-5x}{25}=\frac{6}{25}$$

Делението на 25 отменя умножението по 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{25}\right)x=\frac{6}{25}$$

Намаляване на дробта \frac{-5}{25} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{6}{25}$$

Разделете -\frac{1}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{1}{10}. След това съберете квадрата на -\frac{1}{10} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{6}{25}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{1}{10}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{6}{25}+\frac{1}{100}$$

Съберете \frac{6}{25} и \frac{1}{100}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{1}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{1}{2} x-\frac{1}{10}=-\frac{1}{2}$$

Съберете \frac{1}{10} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{2}{5}$$