Решете left(3x+1right)^2=-2x

$${ \left(3x+1 \right) }^{ 2 } =-2x$$

Решаване за x

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9}\approx -0,150472077$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}\approx -0,738416812$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=-2x$$

Добавете 2x от двете страни.

$$9x^{2}+6x+1+2x=0$$

Групирайте 6x и 2x, за да получите 8x.

$$9x^{2}+8x+1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 9 вместо a, 8 вместо b и 1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Повдигане на квадрат на 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 9}}{2\times 9}$$

Умножете -4 по 9.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-36}}{2\times 9}$$

Съберете 64 с -36.

$$x=\frac{-8±\sqrt{28}}{2\times 9}$$

Получете корен квадратен от 28.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Умножете 2 по 9.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{18}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{18}, когато ± е плюс. Съберете -8 с 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-8}{18}$$

Разделете -8+2\sqrt{7} на 18.

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{18}, когато ± е минус. Извадете 2\sqrt{7} от -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-8}{18}$$

Разделете -8-2\sqrt{7} на 18.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9} x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=-2x$$

Добавете 2x от двете страни.

$$9x^{2}+6x+1+2x=0$$

Групирайте 6x и 2x, за да получите 8x.

$$9x^{2}+8x+1=0$$

Извадете 1 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$9x^{2}+8x=-1$$

Разделете двете страни на 9.

$$\frac{9x^{2}+8x}{9}=-\frac{1}{9}$$

Делението на 9 отменя умножението по 9.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x=-\frac{1}{9}$$

Разделете \frac{8}{9} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{4}{9}. След това съберете квадрата на \frac{4}{9} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\left(\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{4}{9}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=-\frac{1}{9}+\frac{16}{81}$$

Съберете -\frac{1}{9} и \frac{16}{81}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=\frac{7}{81}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{9}\right)^{2}=\frac{7}{81}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{81}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{4}{9}=\frac{\sqrt{7}}{9} x+\frac{4}{9}=-\frac{\sqrt{7}}{9}$$

Извадете \frac{4}{9} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9} x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}$$