Решете left(2x-5right)^2+x^2+6(2x-5)-12x+20=0

$${ \left(2x-5 \right) }^{ 2 } + { x }^{ 2 } +6(2x-5)-12x+20=0$$

Решаване за x

$$x=1$$

$$x=3$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Групирайте 4x^{2} и x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 6 по 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Групирайте -20x и 12x, за да получите -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Извадете 30 от 25, за да получите -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Групирайте -8x и -12x, за да получите -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Съберете -5 и 20, за да се получи 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Разделете двете страни на 5.

$$x^{2}-4x+3=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx+3. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=-3 b=-1$$

Напишете x^{2}-4x+3 като \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Фактор, x в първата и -1 във втората група.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Разложете на множители общия член x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-3=0 и x-1=0.

$$x=3 x=1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Групирайте 4x^{2} и x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 6 по 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Групирайте -20x и 12x, за да получите -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Извадете 30 от 25, за да получите -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Групирайте -8x и -12x, за да получите -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Съберете -5 и 20, за да се получи 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 5 вместо a, -20 вместо b и 15 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Повдигане на квадрат на -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Умножете -4 по 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

Умножете -20 по 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

Съберете 400 с -300.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Получете корен квадратен от 100.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

Противоположното на -20 е 20.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

Умножете 2 по 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{20±10}{10}, когато ± е плюс. Съберете 20 с 10.

$$x=\frac{30}{10}$$

Разделете 30 на 10.

$$x=3$$

Сега решете уравнението x=\frac{20±10}{10}, когато ± е минус. Извадете 10 от 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Разделете 10 на 10.

$$x=1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=3 x=1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Групирайте 4x^{2} и x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 6 по 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Групирайте -20x и 12x, за да получите -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Извадете 30 от 25, за да получите -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Групирайте -8x и -12x, за да получите -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Съберете -5 и 20, за да се получи 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Извадете 15 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$5x^{2}-20x=-15$$

Разделете двете страни на 5.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Делението на 5 отменя умножението по 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

Разделете -20 на 5.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

Разделете -15 на 5.

$$x^{2}-4x=-3$$

Разделете -4 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -2. След това съберете квадрата на -2 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -2.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Съберете -3 с 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Разложете на множител x^{2}-4x+4. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Опростявайте.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Съберете 2 към двете страни на уравнението.

$$x=3 x=1$$