Решете left(2x-3right)^2=49

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } =49$$

Решаване за x

$$x=5$$

$$x=-2$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Извадете 49 и от двете страни.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

Извадете 49 от 9, за да получите -40.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

Разделете двете страни на 4.

$$x^{2}-3x-10=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx-10. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -10 на продукта.

$$1,-10 2,-5$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Решението е двойката, която дава сума -3.

$$a=-5 b=2$$

Напишете x^{2}-3x-10 като \left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Фактор, x в първата и 2 във втората група.

$$x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Разложете на множители общия член x-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-5\right)\left(x+2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-5=0 и x+2=0.

$$x=5 x=-2$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Извадете 49 и от двете страни.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

Извадете 49 от 9, за да получите -40.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 4 вместо a, -12 вместо b и -40 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по -40.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+640}}{2\times 4}$$

Съберете 144 с 640.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 784.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±28}{2\times 4}$$

Противоположното на -12 е 12.

$$x=\frac{12±28}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$x=\frac{12±28}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{12±28}{8}, когато ± е плюс. Съберете 12 с 28.

$$x=\frac{40}{8}$$

Разделете 40 на 8.

$$x=5$$

Сега решете уравнението x=\frac{12±28}{8}, когато ± е минус. Извадете 28 от 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Разделете -16 на 8.

$$x=-2$$

Уравнението сега е решено.

$$x=5 x=-2$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Извадете 9 и от двете страни.

$$4x^{2}-12x=49-9$$

Извадете 9 от 49, за да получите 40.

$$4x^{2}-12x=40$$

Разделете двете страни на 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{40}{4}$$

Делението на 4 отменя умножението по 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{40}{4}$$

Разделете -12 на 4.

$$x^{2}-3x=\frac{40}{4}$$

Разделете 40 на 4.

$$x^{2}-3x=10$$

Разделете -3 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{3}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{3}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{3}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Съберете 10 с \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Съберете \frac{3}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=5 x=-2$$