Решете left(12x+7right)^2(3x+2)(2x+1)=3

$${ \left(12x+7 \right) }^{ 2 } (3x+2)(2x+1)=3$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12}\approx -0,583333333-0,23570226i$$

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12}\approx -0,583333333+0,23570226i$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(12x+7\right)^{2}.

$$\left(144x^{2}+168x+49\right)\left(3x+2\right)\left(2x+1\right)=3$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 144x^{2}+168x+49 по 3x+2 и да групирате подобните членове.

$$\left(432x^{3}+792x^{2}+483x+98\right)\left(2x+1\right)=3$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 432x^{3}+792x^{2}+483x+98 по 2x+1 и да групирате подобните членове.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+98=3$$

Извадете 3 и от двете страни.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+98-3=0$$

Извадете 3 от 98, за да получите 95.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+95=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 95, а q разделя водещия коефициент 864. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{95}{864},±\frac{95}{432},±\frac{95}{288},±\frac{95}{216},±\frac{95}{144},±\frac{95}{108},±\frac{95}{96},±\frac{95}{72},±\frac{95}{54},±\frac{95}{48},±\frac{95}{36},±\frac{95}{32},±\frac{95}{27},±\frac{95}{24},±\frac{95}{18},±\frac{95}{16},±\frac{95}{12},±\frac{95}{9},±\frac{95}{8},±\frac{95}{6},±\frac{95}{4},±\frac{95}{3},±\frac{95}{2},±95,±\frac{19}{864},±\frac{19}{432},±\frac{19}{288},±\frac{19}{216},±\frac{19}{144},±\frac{19}{108},±\frac{19}{96},±\frac{19}{72},±\frac{19}{54},±\frac{19}{48},±\frac{19}{36},±\frac{19}{32},±\frac{19}{27},±\frac{19}{24},±\frac{19}{18},±\frac{19}{16},±\frac{19}{12},±\frac{19}{9},±\frac{19}{8},±\frac{19}{6},±\frac{19}{4},±\frac{19}{3},±\frac{19}{2},±19,±\frac{5}{864},±\frac{5}{432},±\frac{5}{288},±\frac{5}{216},±\frac{5}{144},±\frac{5}{108},±\frac{5}{96},±\frac{5}{72},±\frac{5}{54},±\frac{5}{48},±\frac{5}{36},±\frac{5}{32},±\frac{5}{27},±\frac{5}{24},±\frac{5}{18},±\frac{5}{16},±\frac{5}{12},±\frac{5}{9},±\frac{5}{8},±\frac{5}{6},±\frac{5}{4},±\frac{5}{3},±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{864},±\frac{1}{432},±\frac{1}{288},±\frac{1}{216},±\frac{1}{144},±\frac{1}{108},±\frac{1}{96},±\frac{1}{72},±\frac{1}{54},±\frac{1}{48},±\frac{1}{36},±\frac{1}{32},±\frac{1}{27},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{16},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+95 на 3\left(x+\frac{1}{3}\right)=3x+1, за да получите 288x^{3}+576x^{2}+394x+95. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$288x^{3}+576x^{2}+394x+95=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 95, а q разделя водещия коефициент 288. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{95}{288},±\frac{95}{144},±\frac{95}{96},±\frac{95}{72},±\frac{95}{48},±\frac{95}{36},±\frac{95}{32},±\frac{95}{24},±\frac{95}{18},±\frac{95}{16},±\frac{95}{12},±\frac{95}{9},±\frac{95}{8},±\frac{95}{6},±\frac{95}{4},±\frac{95}{3},±\frac{95}{2},±95,±\frac{19}{288},±\frac{19}{144},±\frac{19}{96},±\frac{19}{72},±\frac{19}{48},±\frac{19}{36},±\frac{19}{32},±\frac{19}{24},±\frac{19}{18},±\frac{19}{16},±\frac{19}{12},±\frac{19}{9},±\frac{19}{8},±\frac{19}{6},±\frac{19}{4},±\frac{19}{3},±\frac{19}{2},±19,±\frac{5}{288},±\frac{5}{144},±\frac{5}{96},±\frac{5}{72},±\frac{5}{48},±\frac{5}{36},±\frac{5}{32},±\frac{5}{24},±\frac{5}{18},±\frac{5}{16},±\frac{5}{12},±\frac{5}{9},±\frac{5}{8},±\frac{5}{6},±\frac{5}{4},±\frac{5}{3},±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{288},±\frac{1}{144},±\frac{1}{96},±\frac{1}{72},±\frac{1}{48},±\frac{1}{36},±\frac{1}{32},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{16},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 288x^{3}+576x^{2}+394x+95 на 6\left(x+\frac{5}{6}\right)=6x+5, за да получите 48x^{2}+56x+19. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$48x^{2}+56x+19=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 48 за a, 56 за b и 19 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\times 48\times 19}}{2\times 48}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-56±\sqrt{-512}}{96}$$

Решете уравнението 48x^{2}+56x+19=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12} x=\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{5}{6} x=-\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12} x=\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12}$$

Решаване за x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(12x+7\right)^{2}.

$$\left(144x^{2}+168x+49\right)\left(3x+2\right)\left(2x+1\right)=3$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 144x^{2}+168x+49 по 3x+2 и да групирате подобните членове.

$$\left(432x^{3}+792x^{2}+483x+98\right)\left(2x+1\right)=3$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 432x^{3}+792x^{2}+483x+98 по 2x+1 и да групирате подобните членове.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+98=3$$

Извадете 3 и от двете страни.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+98-3=0$$

Извадете 3 от 98, за да получите 95.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+95=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 95, а q разделя водещия коефициент 864. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{95}{864},±\frac{95}{432},±\frac{95}{288},±\frac{95}{216},±\frac{95}{144},±\frac{95}{108},±\frac{95}{96},±\frac{95}{72},±\frac{95}{54},±\frac{95}{48},±\frac{95}{36},±\frac{95}{32},±\frac{95}{27},±\frac{95}{24},±\frac{95}{18},±\frac{95}{16},±\frac{95}{12},±\frac{95}{9},±\frac{95}{8},±\frac{95}{6},±\frac{95}{4},±\frac{95}{3},±\frac{95}{2},±95,±\frac{19}{864},±\frac{19}{432},±\frac{19}{288},±\frac{19}{216},±\frac{19}{144},±\frac{19}{108},±\frac{19}{96},±\frac{19}{72},±\frac{19}{54},±\frac{19}{48},±\frac{19}{36},±\frac{19}{32},±\frac{19}{27},±\frac{19}{24},±\frac{19}{18},±\frac{19}{16},±\frac{19}{12},±\frac{19}{9},±\frac{19}{8},±\frac{19}{6},±\frac{19}{4},±\frac{19}{3},±\frac{19}{2},±19,±\frac{5}{864},±\frac{5}{432},±\frac{5}{288},±\frac{5}{216},±\frac{5}{144},±\frac{5}{108},±\frac{5}{96},±\frac{5}{72},±\frac{5}{54},±\frac{5}{48},±\frac{5}{36},±\frac{5}{32},±\frac{5}{27},±\frac{5}{24},±\frac{5}{18},±\frac{5}{16},±\frac{5}{12},±\frac{5}{9},±\frac{5}{8},±\frac{5}{6},±\frac{5}{4},±\frac{5}{3},±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{864},±\frac{1}{432},±\frac{1}{288},±\frac{1}{216},±\frac{1}{144},±\frac{1}{108},±\frac{1}{96},±\frac{1}{72},±\frac{1}{54},±\frac{1}{48},±\frac{1}{36},±\frac{1}{32},±\frac{1}{27},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{16},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+95 на 3\left(x+\frac{1}{3}\right)=3x+1, за да получите 288x^{3}+576x^{2}+394x+95. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$288x^{3}+576x^{2}+394x+95=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 95, а q разделя водещия коефициент 288. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{95}{288},±\frac{95}{144},±\frac{95}{96},±\frac{95}{72},±\frac{95}{48},±\frac{95}{36},±\frac{95}{32},±\frac{95}{24},±\frac{95}{18},±\frac{95}{16},±\frac{95}{12},±\frac{95}{9},±\frac{95}{8},±\frac{95}{6},±\frac{95}{4},±\frac{95}{3},±\frac{95}{2},±95,±\frac{19}{288},±\frac{19}{144},±\frac{19}{96},±\frac{19}{72},±\frac{19}{48},±\frac{19}{36},±\frac{19}{32},±\frac{19}{24},±\frac{19}{18},±\frac{19}{16},±\frac{19}{12},±\frac{19}{9},±\frac{19}{8},±\frac{19}{6},±\frac{19}{4},±\frac{19}{3},±\frac{19}{2},±19,±\frac{5}{288},±\frac{5}{144},±\frac{5}{96},±\frac{5}{72},±\frac{5}{48},±\frac{5}{36},±\frac{5}{32},±\frac{5}{24},±\frac{5}{18},±\frac{5}{16},±\frac{5}{12},±\frac{5}{9},±\frac{5}{8},±\frac{5}{6},±\frac{5}{4},±\frac{5}{3},±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{288},±\frac{1}{144},±\frac{1}{96},±\frac{1}{72},±\frac{1}{48},±\frac{1}{36},±\frac{1}{32},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{16},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 288x^{3}+576x^{2}+394x+95 на 6\left(x+\frac{5}{6}\right)=6x+5, за да получите 48x^{2}+56x+19. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$48x^{2}+56x+19=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 48 за a, 56 за b и 19 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\times 48\times 19}}{2\times 48}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-56±\sqrt{-512}}{96}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{5}{6}$$