Решете {left(05sqrt{3}xright)}^2+left(5-15xright)^2=left(1+xright)^2

$${ \left(05 \sqrt{ 3 } x \right) }^{ 2 } + { \left(5-15x \right) }^{ 2 } = { \left(1+x \right) }^{ 2 }$$

Решаване за x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете 0 по 5, за да получите 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Нещо по нула дава нула.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 0 и получавате 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5-15x\right)^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Съберете 0 и 25, за да се получи 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(1+x\right)^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$25-150x+225x^{2}-1=2x+x^{2}$$

Извадете 1 от 25, за да получите 24.

$$24-150x+225x^{2}=2x+x^{2}$$

Извадете 2x и от двете страни.

$$24-150x+225x^{2}-2x=x^{2}$$

Групирайте -150x и -2x, за да получите -152x.

$$24-152x+225x^{2}=x^{2}$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$24-152x+225x^{2}-x^{2}=0$$

Групирайте 225x^{2} и -x^{2}, за да получите 224x^{2}.

$$24-152x+224x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$224x^{2}-152x+24=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 224 вместо a, -152 вместо b и 24 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{\left(-152\right)^{2}-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Повдигане на квадрат на -152.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Умножете -4 по 224.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-896\times 24}}{2\times 224}$$

Умножете -896 по 24.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-21504}}{2\times 224}$$

Съберете 23104 с -21504.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{1600}}{2\times 224}$$

Получете корен квадратен от 1600.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±40}{2\times 224}$$

Противоположното на -152 е 152.

$$x=\frac{152±40}{2\times 224}$$

Умножете 2 по 224.

$$x=\frac{152±40}{448}$$

Сега решете уравнението x=\frac{152±40}{448}, когато ± е плюс. Съберете 152 с 40.

$$x=\frac{192}{448}$$

Намаляване на дробта \frac{192}{448} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 64.

$$x=\frac{3}{7}$$

Сега решете уравнението x=\frac{152±40}{448}, когато ± е минус. Извадете 40 от 152.

$$x=\frac{112}{448}$$

Намаляване на дробта \frac{112}{448} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 112.

$$x=\frac{1}{4}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете 0 по 5, за да получите 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Нещо по нула дава нула.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 0 и получавате 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5-15x\right)^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Съберете 0 и 25, за да се получи 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(1+x\right)^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Извадете 2x и от двете страни.

$$25-150x+225x^{2}-2x=1+x^{2}$$

Групирайте -150x и -2x, за да получите -152x.

$$25-152x+225x^{2}=1+x^{2}$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$25-152x+225x^{2}-x^{2}=1$$

Групирайте 225x^{2} и -x^{2}, за да получите 224x^{2}.

$$25-152x+224x^{2}=1$$

Извадете 25 и от двете страни.

$$-152x+224x^{2}=1-25$$

Извадете 25 от 1, за да получите -24.

$$-152x+224x^{2}=-24$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$224x^{2}-152x=-24$$

Разделете двете страни на 224.

$$\frac{224x^{2}-152x}{224}=-\frac{24}{224}$$

Делението на 224 отменя умножението по 224.

$$x^{2}+\left(-\frac{152}{224}\right)x=-\frac{24}{224}$$

Намаляване на дробта \frac{-152}{224} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{24}{224}$$

Намаляване на дробта \frac{-24}{224} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{3}{28}$$

Разделете -\frac{19}{28} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{19}{56}. След това съберете квадрата на -\frac{19}{56} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}=-\frac{3}{28}+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{19}{56}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=-\frac{3}{28}+\frac{361}{3136}$$

Съберете -\frac{3}{28} и \frac{361}{3136}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=\frac{25}{3136}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}=\frac{25}{3136}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{3136}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{19}{56}=\frac{5}{56} x-\frac{19}{56}=-\frac{5}{56}$$

Съберете \frac{19}{56} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$