Решете {left(1/4xright)}^2+{left(80/4-1/4xright)}^2=200

$${ \left( \frac{ 1 }{ 4 } x \right) }^{ 2 } + { \left( \frac{ 80 }{ 4 } - \frac{ 1 }{ 4 } x \right) }^{ 2 } =200$$

Решаване за x

$$x=40$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Разложете \left(\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Изчислявате 2 на степен \frac{1}{4} и получавате \frac{1}{16}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Разделете 80 на 4, за да получите 20.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+400-10x+\frac{1}{16}x^{2}=200$$

Групирайте \frac{1}{16}x^{2} и \frac{1}{16}x^{2}, за да получите \frac{1}{8}x^{2}.

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x=200$$

Извадете 200 и от двете страни.

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x-200=0$$

Извадете 200 от 400, за да получите 200.

$$\frac{1}{8}x^{2}+200-10x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x+200=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете \frac{1}{8} вместо a, -10 вместо b и 200 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times \frac{1}{8}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Повдигане на квадрат на -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times \frac{1}{8}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Умножете -4 по \frac{1}{8}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-\frac{1}{2}\times 200}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Умножете -\frac{1}{2} по 200.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Съберете 100 с -100.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{0}}{2\times \frac{1}{8}}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$x=-\frac{-10}{2\times \frac{1}{8}}$$

Противоположното на -10 е 10.

$$x=\frac{10}{2\times \frac{1}{8}}$$

Умножете 2 по \frac{1}{8}.

$$x=\frac{10}{\frac{1}{4}}$$

Разделете 10 на \frac{1}{4} чрез умножаване на 10 по обратната стойност на \frac{1}{4}.

$$x=40$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Разложете \left(\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Изчислявате 2 на степен \frac{1}{4} и получавате \frac{1}{16}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(\frac{80}{4}-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Разделете 80 на 4, за да получите 20.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}=200$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(20-\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+400-10x+\frac{1}{16}x^{2}=200$$

Групирайте \frac{1}{16}x^{2} и \frac{1}{16}x^{2}, за да получите \frac{1}{8}x^{2}.

$$\frac{1}{8}x^{2}+400-10x=200$$

Извадете 400 и от двете страни.

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x=200-400$$

Извадете 400 от 200, за да получите -200.

$$\frac{1}{8}x^{2}-10x=-200$$

Умножете и двете страни по 8.

$$\frac{\frac{1}{8}x^{2}-10x}{\frac{1}{8}}=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

Делението на \frac{1}{8} отменя умножението по \frac{1}{8}.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{\frac{1}{8}}\right)x=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

Разделете -10 на \frac{1}{8} чрез умножаване на -10 по обратната стойност на \frac{1}{8}.

$$x^{2}-80x=-\frac{200}{\frac{1}{8}}$$

Разделете -200 на \frac{1}{8} чрез умножаване на -200 по обратната стойност на \frac{1}{8}.

$$x^{2}-80x=-1600$$

Разделете -80 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -40. След това съберете квадрата на -40 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-80x+\left(-40\right)^{2}=-1600+\left(-40\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -40.

$$x^{2}-80x+1600=-1600+1600$$

Съберете -1600 с 1600.

$$x^{2}-80x+1600=0$$

Разложете на множител x^{2}-80x+1600. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-40\right)^{2}=0$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-40\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Опростявайте.

$$x-40=0 x-40=0$$

Съберете 40 към двете страни на уравнението.

$$x=40 x=40$$

Уравнението сега е решено. Решенията са еднакви.

$$x=40$$