Решете {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Изчисляване

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Стъпки на решението

Рационализиране на знаменателя на \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}, като се умножи числител и знаменател по \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Сметнете \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на \sqrt{3}. Повдигане на квадрат на 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Извадете 1 от 3, за да получите 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Умножете \sqrt{3}+1 по \sqrt{3}+1, за да получите \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Съберете 3 и 1, за да се получи 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Разделете всеки член на 4+2\sqrt{3} на 2, за да получите 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Съберете 4 и 3, за да се получи 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Разлагане

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Стъпки на решението

Рационализиране на знаменателя на \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}, като се умножи числител и знаменател по \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Сметнете \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на \sqrt{3}. Повдигане на квадрат на 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Извадете 1 от 3, за да получите 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Умножете \sqrt{3}+1 по \sqrt{3}+1, за да получите \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Съберете 3 и 1, за да се получи 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Разделете всеки член на 4+2\sqrt{3} на 2, за да получите 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Квадратът на \sqrt{3} е 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Съберете 4 и 3, за да се получи 7.

$$7+4\sqrt{3}$$