Решете left(u+1right)^2=2u^2+5u+3

$${ \left( u+1 \right) }^{ 2 } =2 { u }^{ 2 } +5u+3$$

Решаване за u

$$u=-1$$

$$u=-2$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Извадете 2u^{2} и от двете страни.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Групирайте u^{2} и -2u^{2}, за да получите -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Извадете 5u и от двете страни.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Групирайте 2u и -5u, за да получите -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Извадете 3 и от двете страни.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Извадете 3 от 1, за да получите -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -u^{2}+au+bu-2. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=-1 b=-2$$

Напишете -u^{2}-3u-2 като \left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right).

$$\left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right)$$

Фактор, u в първата и 2 във втората група.

$$u\left(-u-1\right)+2\left(-u-1\right)$$

Разложете на множители общия член -u-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-u-1\right)\left(u+2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -u-1=0 и u+2=0.

$$u=-1 u=-2$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Извадете 2u^{2} и от двете страни.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Групирайте u^{2} и -2u^{2}, за да получите -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Извадете 5u и от двете страни.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Групирайте 2u и -5u, за да получите -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Извадете 3 и от двете страни.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Извадете 3 от 1, за да получите -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, -3 вместо b и -2 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на -3.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по -2.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 9 с -8.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

Противоположното на -3 е 3.

$$u=\frac{3±1}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$u=\frac{3±1}{-2}$$

Сега решете уравнението u=\frac{3±1}{-2}, когато ± е плюс. Съберете 3 с 1.

$$u=\frac{4}{-2}$$

Разделете 4 на -2.

$$u=-2$$

Сега решете уравнението u=\frac{3±1}{-2}, когато ± е минус. Извадете 1 от 3.

$$u=\frac{2}{-2}$$

Разделете 2 на -2.

$$u=-1$$

Уравнението сега е решено.

$$u=-2 u=-1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Извадете 2u^{2} и от двете страни.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Групирайте u^{2} и -2u^{2}, за да получите -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Извадете 5u и от двете страни.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Групирайте 2u и -5u, за да получите -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$-u^{2}-3u=3-1$$

Извадете 1 от 3, за да получите 2.

$$-u^{2}-3u=2$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-u^{2}-3u}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$u^{2}+\left(-\frac{3}{-1}\right)u=\frac{2}{-1}$$

Разделете -3 на -1.

$$u^{2}+3u=\frac{2}{-1}$$

Разделете 2 на -1.

$$u^{2}+3u=-2$$

Разделете 3 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{3}{2}. След това съберете квадрата на \frac{3}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$u^{2}+3u+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{3}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Съберете -2 с \frac{9}{4}.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Разложете на множител u^{2}+3u+\frac{9}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Опростявайте.

$$u+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} u+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Извадете \frac{3}{2} и от двете страни на уравнението.

$$u=-1 u=-2$$