Решете sqrt{x-4}-sqrt{4x-27}+sqrt{x-9}=0

$$\sqrt{ x-4 } - \sqrt{ 4x-27 } + \sqrt{ x-9 } =0$$

Решаване за x

$$x=13$$

Стъпки на решението

Извадете -\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9} и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{x-4}=-\left(-\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9}\right)$$

За да намерите противоположната стойност на -\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$\sqrt{x-4}=-\left(-\sqrt{4x-27}\right)-\sqrt{x-9}$$

Противоположното на -\sqrt{4x-27} е \sqrt{4x-27}.

$$\sqrt{x-4}=\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}=\left(\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x-4} и получавате x-4.

$$x-4=\left(\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}\right)^{2}.

$$x-4=\left(\sqrt{4x-27}\right)^{2}-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}+\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{4x-27} и получавате 4x-27.

$$x-4=4x-27-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}+\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x-9} и получавате x-9.

$$x-4=4x-27-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}+x-9$$

Групирайте 4x и x, за да получите 5x.

$$x-4=5x-27-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}-9$$

Извадете 9 от -27, за да получите -36.

$$x-4=5x-36-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Извадете 5x-36 и от двете страни на уравнението.

$$x-4-\left(5x-36\right)=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

За да намерите противоположната стойност на 5x-36, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$x-4-5x+36=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Групирайте x и -5x, за да получите -4x.

$$-4x-4+36=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Съберете -4 и 36, за да се получи 32.

$$-4x+32=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(-4x+32\right)^{2}=\left(-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(-4x+32\right)^{2}.

$$16x^{2}-256x+1024=\left(-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Разложете \left(-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}\right)^{2}.

$$16x^{2}-256x+1024=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{4x-27}\right)^{2}\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен -2 и получавате 4.

$$16x^{2}-256x+1024=4\left(\sqrt{4x-27}\right)^{2}\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{4x-27} и получавате 4x-27.

$$16x^{2}-256x+1024=4\left(4x-27\right)\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x-9} и получавате x-9.

$$16x^{2}-256x+1024=4\left(4x-27\right)\left(x-9\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по 4x-27.

$$16x^{2}-256x+1024=\left(16x-108\right)\left(x-9\right)$$

Приложете разпределителното свойство, като умножите всеки член на 16x-108 по всеки член на x-9.

$$16x^{2}-256x+1024=16x^{2}-144x-108x+972$$

Групирайте -144x и -108x, за да получите -252x.

$$16x^{2}-256x+1024=16x^{2}-252x+972$$

Извадете 16x^{2} и от двете страни.

$$16x^{2}-256x+1024-16x^{2}=-252x+972$$

Групирайте 16x^{2} и -16x^{2}, за да получите 0.

$$-256x+1024=-252x+972$$

Добавете 252x от двете страни.

$$-256x+1024+252x=972$$

Групирайте -256x и 252x, за да получите -4x.

$$-4x+1024=972$$

Извадете 1024 и от двете страни.

$$-4x=972-1024$$

Извадете 1024 от 972, за да получите -52.

$$-4x=-52$$

Разделете двете страни на -4.

$$x=\frac{-52}{-4}$$

Разделете -52 на -4, за да получите 13.

$$x=13$$

Заместете 13 вместо x в уравнението \sqrt{x-4}-\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9}=0.

$$\sqrt{13-4}-\sqrt{4\times 13-27}+\sqrt{13-9}=0$$

Опростявайте. Стойността x=13 отговаря на уравнението.

$$0=0$$

Уравнението \sqrt{x-4}=\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9} има уникално решение.

$$x=13$$