Решете sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt{ x+3 } + \sqrt{ x+6 } = \sqrt{ x+11 }$$

Решаване за x

$$x=-2$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x+3} и получавате x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x+6} и получавате x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Групирайте x и x, за да получите 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Съберете 3 и 6, за да се получи 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x+11} и получавате x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Извадете 2x+9 и от двете страни на уравнението.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 2x+9, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Групирайте x и -2x, за да получите -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Извадете 9 от 11, за да получите 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Разложете \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x+3} и получавате x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x+6} и получавате x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Приложете разпределителното свойство, като умножите всеки член на 4x+12 по всеки член на x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Групирайте 24x и 12x, за да получите 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Групирайте 4x^{2} и -x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Добавете 4x от двете страни.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Групирайте 36x и 4x, за да получите 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Извадете 4 и от двете страни.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Извадете 4 от 72, за да получите 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 3x^{2}+ax+bx+68. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 204 на продукта.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

Решението е двойката, която дава сума 40.

$$a=6 b=34$$

Напишете 3x^{2}+40x+68 като \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Фактор, 3x в първата и 34 във втората група.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Разложете на множители общия член x+2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x+2=0 и 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Заместете -\frac{34}{3} вместо x в уравнението \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. Изразът \sqrt{-\frac{34}{3}+3} е недефиниран, защото radicand не може да бъде отрицателен.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Заместете -2 вместо x в уравнението \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Опростявайте. Стойността x=-2 отговаря на уравнението.

$$3=3$$

Уравнението \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} има уникално решение.

$$x=-2$$