Решете sqrt{6+sqrt{x+4}}=sqrt{2x-1}

$$\sqrt{ 6+ \sqrt{ x+4 } } = \sqrt{ 2x-1 }$$

Решаване за x

$$x=5$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{6+\sqrt{x+4}}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{6+\sqrt{x+4}} и получавате 6+\sqrt{x+4}.

$$6+\sqrt{x+4}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x-1} и получавате 2x-1.

$$6+\sqrt{x+4}=2x-1$$

Извадете 6 и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{x+4}=2x-1-6$$

Извадете 6 от -1, за да получите -7.

$$\sqrt{x+4}=2x-7$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}=\left(2x-7\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x+4} и получавате x+4.

$$x+4=\left(2x-7\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-7\right)^{2}.

$$x+4=4x^{2}-28x+49$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$x+4-4x^{2}=-28x+49$$

Добавете 28x от двете страни.

$$x+4-4x^{2}+28x=49$$

Групирайте x и 28x, за да получите 29x.

$$29x+4-4x^{2}=49$$

Извадете 49 и от двете страни.

$$29x+4-4x^{2}-49=0$$

Извадете 49 от 4, за да получите -45.

$$29x-45-4x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-4x^{2}+29x-45=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -4x^{2}+ax+bx-45. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=29 ab=-4\left(-45\right)=180$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 180 на продукта.

$$1,180 2,90 3,60 4,45 5,36 6,30 9,20 10,18 12,15$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+180=181 2+90=92 3+60=63 4+45=49 5+36=41 6+30=36 9+20=29 10+18=28 12+15=27$$

Решението е двойката, която дава сума 29.

$$a=20 b=9$$

Напишете -4x^{2}+29x-45 като \left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right).

$$\left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right)$$

Фактор, 4x в първата и -9 във втората група.

$$4x\left(-x+5\right)-9\left(-x+5\right)$$

Разложете на множители общия член -x+5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+5\right)\left(4x-9\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+5=0 и 4x-9=0.

$$x=5 x=\frac{9}{4}$$

Заместете 5 вместо x в уравнението \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Опростявайте. Стойността x=5 отговаря на уравнението.

$$3=3$$

Заместете \frac{9}{4} вместо x в уравнението \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{\frac{9}{4}+4}}=\sqrt{2\times \frac{9}{4}-1}$$

Опростявайте. Стойността x=\frac{9}{4} не отговаря на уравнението.

$$\frac{1}{2}\times 34^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 14^{\frac{1}{2}}$$

Заместете 5 вместо x в уравнението \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Опростявайте. Стойността x=5 отговаря на уравнението.

$$3=3$$

Уравнението \sqrt{\sqrt{x+4}+6}=\sqrt{2x-1} има уникално решение.

$$x=5$$