Решете sqrt{4y+1}-sqrt{y-2}=3

$$\sqrt{ 4y+1 } - \sqrt{ y-2 } =3$$

Решаване за y

$$y=6$$

$$y=2$$

Стъпки на решението

Извадете -\sqrt{y-2} и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{4y+1}=3+\sqrt{y-2}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{4y+1}\right)^{2}=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{4y+1} и получавате 4y+1.

$$4y+1=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{y-2} и получавате y-2.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+y-2$$

Извадете 2 от 9, за да получите 7.

$$4y+1=7+6\sqrt{y-2}+y$$

Извадете 7+y и от двете страни на уравнението.

$$4y+1-\left(7+y\right)=6\sqrt{y-2}$$

За да намерите противоположната стойност на 7+y, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$4y+1-7-y=6\sqrt{y-2}$$

Извадете 7 от 1, за да получите -6.

$$4y-6-y=6\sqrt{y-2}$$

Групирайте 4y и -y, за да получите 3y.

$$3y-6=6\sqrt{y-2}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(3y-6\right)^{2}=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(3y-6\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Разложете \left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=6^{2}\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 6 и получавате 36.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{y-2} и получавате y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(y-2\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 36 по y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36y-72$$

Извадете 36y и от двете страни.

$$9y^{2}-36y+36-36y=-72$$

Групирайте -36y и -36y, за да получите -72y.

$$9y^{2}-72y+36=-72$$

Добавете 72 от двете страни.

$$9y^{2}-72y+36+72=0$$

Съберете 36 и 72, за да се получи 108.

$$9y^{2}-72y+108=0$$

Разделете двете страни на 9.

$$y^{2}-8y+12=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като y^{2}+ay+by+12. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 12 на продукта.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Решението е двойката, която дава сума -8.

$$a=-6 b=-2$$

Напишете y^{2}-8y+12 като \left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right).

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right)$$

Фактор, y в първата и -2 във втората група.

$$y\left(y-6\right)-2\left(y-6\right)$$

Разложете на множители общия член y-6, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете y-6=0 и y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Заместете 6 вместо y в уравнението \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 6+1}-\sqrt{6-2}=3$$

Опростявайте. Стойността y=6 отговаря на уравнението.

$$3=3$$

Заместете 2 вместо y в уравнението \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 2+1}-\sqrt{2-2}=3$$

Опростявайте. Стойността y=2 отговаря на уравнението.

$$3=3$$

Изброяване на всички решения на \sqrt{4y+1}=\sqrt{y-2}+3.

$$y=6 y=2$$