Решете sqrt{3x+12}-1=sqrt{5x+9}

$$\sqrt{ 3x+12 } -1= \sqrt{ 5x+9 }$$

Решаване за x

$$x=-1$$

Стъпки на решението

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{3x+12}-1\right)^{2}=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(\sqrt{3x+12}-1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}-2\sqrt{3x+12}+1=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{3x+12} и получавате 3x+12.

$$3x+12-2\sqrt{3x+12}+1=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Съберете 12 и 1, за да се получи 13.

$$3x+13-2\sqrt{3x+12}=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{5x+9} и получавате 5x+9.

$$3x+13-2\sqrt{3x+12}=5x+9$$

Извадете 3x+13 и от двете страни на уравнението.

$$-2\sqrt{3x+12}=5x+9-\left(3x+13\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 3x+13, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$-2\sqrt{3x+12}=5x+9-3x-13$$

Групирайте 5x и -3x, за да получите 2x.

$$-2\sqrt{3x+12}=2x+9-13$$

Извадете 13 от 9, за да получите -4.

$$-2\sqrt{3x+12}=2x-4$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(-2\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Разложете \left(-2\sqrt{3x+12}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен -2 и получавате 4.

$$4\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{3x+12} и получавате 3x+12.

$$4\left(3x+12\right)=\left(2x-4\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 4 по 3x+12.

$$12x+48=\left(2x-4\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-4\right)^{2}.

$$12x+48=4x^{2}-16x+16$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$12x+48-4x^{2}=-16x+16$$

Добавете 16x от двете страни.

$$12x+48-4x^{2}+16x=16$$

Групирайте 12x и 16x, за да получите 28x.

$$28x+48-4x^{2}=16$$

Извадете 16 и от двете страни.

$$28x+48-4x^{2}-16=0$$

Извадете 16 от 48, за да получите 32.

$$28x+32-4x^{2}=0$$

Разделете двете страни на 4.

$$7x+8-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}+7x+8=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+8. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=7 ab=-8=-8$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -8 на продукта.

$$-1,8 -2,4$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Решението е двойката, която дава сума 7.

$$a=8 b=-1$$

Напишете -x^{2}+7x+8 като \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-x+8\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-x+8\right)$$

Фактор, -x в първата и -1 във втората група.

$$-x\left(x-8\right)-\left(x-8\right)$$

Разложете на множители общия член x-8, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-8\right)\left(-x-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-8=0 и -x-1=0.

$$x=8 x=-1$$

Заместете 8 вместо x в уравнението \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9}.

$$\sqrt{3\times 8+12}-1=\sqrt{5\times 8+9}$$

Опростявайте. Стойността x=8 не отговаря на уравнението.

$$5=7$$

Заместете -1 вместо x в уравнението \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9}.

$$\sqrt{3\left(-1\right)+12}-1=\sqrt{5\left(-1\right)+9}$$

Опростявайте. Стойността x=-1 отговаря на уравнението.

$$2=2$$

Уравнението \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9} има уникално решение.

$$x=-1$$