Решете sqrt{2x-3}+sqrt{4x+1}=4

$$\sqrt{ 2x-3 } + \sqrt{ 4x+1 } =4$$

Решаване за x

$$x=2$$

Стъпки на решението

Извадете \sqrt{4x+1} и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{2x-3}=4-\sqrt{4x+1}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(4-\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{2x-3} и получавате 2x-3.

$$2x-3=\left(4-\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(4-\sqrt{4x+1}\right)^{2}.

$$2x-3=16-8\sqrt{4x+1}+\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{4x+1} и получавате 4x+1.

$$2x-3=16-8\sqrt{4x+1}+4x+1$$

Съберете 16 и 1, за да се получи 17.

$$2x-3=17-8\sqrt{4x+1}+4x$$

Извадете 17+4x и от двете страни на уравнението.

$$2x-3-\left(17+4x\right)=-8\sqrt{4x+1}$$

За да намерите противоположната стойност на 17+4x, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$2x-3-17-4x=-8\sqrt{4x+1}$$

Извадете 17 от -3, за да получите -20.

$$2x-20-4x=-8\sqrt{4x+1}$$

Групирайте 2x и -4x, за да получите -2x.

$$-2x-20=-8\sqrt{4x+1}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(-2x-20\right)^{2}=\left(-8\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(-2x-20\right)^{2}.

$$4x^{2}+80x+400=\left(-8\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Разложете \left(-8\sqrt{4x+1}\right)^{2}.

$$4x^{2}+80x+400=\left(-8\right)^{2}\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен -8 и получавате 64.

$$4x^{2}+80x+400=64\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{4x+1} и получавате 4x+1.

$$4x^{2}+80x+400=64\left(4x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 64 по 4x+1.

$$4x^{2}+80x+400=256x+64$$

Извадете 256x и от двете страни.

$$4x^{2}+80x+400-256x=64$$

Групирайте 80x и -256x, за да получите -176x.

$$4x^{2}-176x+400=64$$

Извадете 64 и от двете страни.

$$4x^{2}-176x+400-64=0$$

Извадете 64 от 400, за да получите 336.

$$4x^{2}-176x+336=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 4 вместо a, -176 вместо b и 336 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{\left(-176\right)^{2}-4\times 4\times 336}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на -176.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-4\times 4\times 336}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-16\times 336}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по 336.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-5376}}{2\times 4}$$

Съберете 30976 с -5376.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{25600}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 25600.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±160}{2\times 4}$$

Противоположното на -176 е 176.

$$x=\frac{176±160}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$x=\frac{176±160}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{176±160}{8}, когато ± е плюс. Съберете 176 с 160.

$$x=\frac{336}{8}$$

Разделете 336 на 8.

$$x=42$$

Сега решете уравнението x=\frac{176±160}{8}, когато ± е минус. Извадете 160 от 176.

$$x=\frac{16}{8}$$

Разделете 16 на 8.

$$x=2$$

Уравнението сега е решено.

$$x=42 x=2$$

Заместете 42 вместо x в уравнението \sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4.

$$\sqrt{2\times 42-3}+\sqrt{4\times 42+1}=4$$

Опростявайте. Стойността x=42 не отговаря на уравнението.

$$22=4$$

Заместете 2 вместо x в уравнението \sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4.

$$\sqrt{2\times 2-3}+\sqrt{4\times 2+1}=4$$

Опростявайте. Стойността x=2 отговаря на уравнението.

$$4=4$$

Уравнението \sqrt{2x-3}=-\sqrt{4x+1}+4 има уникално решение.

$$x=2$$